Является ли фазон модой Голдстоуна?

Question

Является ли фазон модой Голдстоуна?

Физика
многотелый
конденсированное вещество
нарушение симметрии

тпаркер

Предположим, у нас есть решетчатая система, основным состоянием которой является несоизмеримая волна зарядовой плотности (ВЗП). Строго говоря, это основное состояние не имеет голдстоуновских мод, потому что единственная симметрия, которая спонтанно нарушается, — это дискретная трансляционная симметрия решетки. Но возможные состояния с нарушением симметрии непрерывно изменяются (они могут быть непрерывно параметризованы произвольным фазовым сдвигом, которым ВЗП смещается относительно некоторой эталонной конфигурации), поэтому фазоны(искажения ВЗП со сколь угодно большими длинами волн и малыми энергиями) бесщелевые. Это похоже на то, что мы ожидаем от режима Голдстоуна. Должен ли я думать о фазоне как о моде Голдстоуна? Является ли существование непрерывного вырожденного многообразия в основном состоянии более важным для «голдстоуновского» поведения, чем существование непрерывной спонтанно нарушенной симметрии?

Томаш Браунер

Просто из любопытства, поскольку я ничего не знаю о квазикристаллах: как обеспечить точное непрерывное вырождение основных состояний без спонтанного нарушения непрерывной симметрии?

Рококо

Наивный вопрос: можно ли рассматривать переход ВЗП именно как спонтанное нарушение этой непрерывной «симметрии» фазового сдвига (помимо дискретной симметрии решетки)? А если нет, то почему?

тпаркер

@ TomášBrauner Я думаю, что доказать это математически нетривиально. Насколько я понимаю, грубая идея состоит в том, чтобы думать о каждом узле решетки как о закрепленном на месте восстанавливающей силой с потенциальной энергией.

k δ x^{2}

$k\, \delta x^2$ . Если вы переведете периодическую решетку с единичным шагом

a

$a$ небольшое расстояние

δ x ≪ a

$\delta x \ll a$ там, где он «хочет» быть, все пружины растягиваются, и вы получаете экстенсивно масштабирующуюся энергию

N k δ x^{2}

$N\, k\, \delta x^2$ . Но если сделать то же самое с квазикристаллом, можно показать, что, поскольку единичного шага решетки нет, получается, что новое положение многих...

тпаркер

@TomášBrauner ... сайты будут очень близки к равновесным положениям разных сайтов. Поэтому вместо того, чтобы все растягиваться на одинаковую длину

δ x

$\delta x$ , многие из пружин будут "защелкиваться" на новом месте закрепления и уменьшать свою энергию, так что общая энергия перевода будет субэкстенсивно масштабироваться, и отсюда вы как-то утверждаете, что любой такой перевод энергетически беззатратен? Из моих глубин здесь.

тпаркер

@TomášBrauner Гораздо проще доказать для несоизмеримой волны плотности заряда: часто можно просто найти явное соотношение дисперсии полосы

ϵ (k)

$\epsilon(k)$ и покажем, что оно имеет два вырожденных минимума при

\pm k_{0}

$\pm k_0$ , куда

a k_{0} \neq π / n

$a k_0 \neq \pi/n$ является несоизмеримым. Затем, выбирая линейные комбинации

\pm k_{0}

$\pm k_0$ состояний с соответствующим сдвигом фазы, вы можете преобразовать CDW в любую фазу, которую хотите.

тпаркер

@Rococo Вы определенно правы, что это именно то, что происходит эвристически. Проблема в том, как сделать его строгим. Вырожденное многообразие GS имеет «симметрию» непрерывного фазового сдвига в кавычках, но не симметрию непрерывного фазового сдвига без кавычек. То есть я не могу думать ни о какой однопараметрической группе операторов Ли.

U (δ)

$U(\delta)$ которые все коммутируют с решеточным гамильтонианом и удовлетворяют

⟨ n_{x} ⟩ = A \cos (k x) ⟹ ⟨ U^{†} n_{x} U ⟩ = A \cos (k x - δ)

$\langle n_x \rangle = A \cos(kx) \implies \langle U^\dagger n_x U \rangle = A \cos(kx - \delta)$

тпаркер

@Rococo Поскольку технические требования теоремы Голдстоуна не выполняются, мне интересно, обязательно ли это по-прежнему верно, и если да, то как показать это

Томаш Браунер

@tparker Спасибо за объяснение! Звучит очень интересно, хотя должен признать, что мне понадобится некоторое время, чтобы переварить детали :)

Ответы (4)

Является ли фазон модой Голдстоуна?

Просто из любопытства, поскольку я ничего не знаю о квазикристаллах: как обеспечить точное непрерывное вырождение основных состояний без спонтанного нарушения непрерывной симметрии?
Наивный вопрос: можно ли рассматривать переход ВЗП именно как спонтанное нарушение этой непрерывной «симметрии» фазового сдвига (помимо дискретной симметрии решетки)? А если нет, то почему?
@ TomášBrauner Я думаю, что доказать это математически нетривиально. Насколько я понимаю, грубая идея состоит в том, чтобы думать о каждом узле решетки как о закрепленном на месте восстанавливающей силой с потенциальной энергией. $k\, \delta x^2$ . Если вы переведете периодическую решетку с единичным шагом $a$ небольшое расстояние $\delta x \ll a$ там, где он «хочет» быть, все пружины растягиваются, и вы получаете экстенсивно масштабирующуюся энергию $N\, k\, \delta x^2$ . Но если сделать то же самое с квазикристаллом, можно показать, что, поскольку единичного шага решетки нет, получается, что новое положение многих...
@TomášBrauner ... сайты будут очень близки к равновесным положениям разных сайтов. Поэтому вместо того, чтобы все растягиваться на одинаковую длину $\delta x$ , многие из пружин будут "защелкиваться" на новом месте закрепления и уменьшать свою энергию, так что общая энергия перевода будет субэкстенсивно масштабироваться, и отсюда вы как-то утверждаете, что любой такой перевод энергетически беззатратен? Из моих глубин здесь.
@TomášBrauner Гораздо проще доказать для несоизмеримой волны плотности заряда: часто можно просто найти явное соотношение дисперсии полосы $\epsilon(k)$ и покажем, что оно имеет два вырожденных минимума при $\pm k_0$ , куда $a k_0 \neq \pi/n$ является несоизмеримым. Затем, выбирая линейные комбинации $\pm k_0$ состояний с соответствующим сдвигом фазы, вы можете преобразовать CDW в любую фазу, которую хотите.
@Rococo Вы определенно правы, что это именно то, что происходит эвристически. Проблема в том, как сделать его строгим. Вырожденное многообразие GS имеет «симметрию» непрерывного фазового сдвига в кавычках, но не симметрию непрерывного фазового сдвига без кавычек. То есть я не могу думать ни о какой однопараметрической группе операторов Ли. $U(\delta)$ которые все коммутируют с решеточным гамильтонианом и удовлетворяют $\langle n_x \rangle = A \cos(kx) \implies \langle U^\dagger n_x U \rangle = A \cos(kx - \delta)$
@Rococo Поскольку технические требования теоремы Голдстоуна не выполняются, мне интересно, обязательно ли это по-прежнему верно, и если да, то как показать это
@tparker Спасибо за объяснение! Звучит очень интересно, хотя должен признать, что мне понадобится некоторое время, чтобы переварить детали :)

Джеймс Роуленд · Answer 1

Этот вопрос не давал мне покоя большую часть пятницы. Кажется очевидным, что это мода Голдстоуна. Вы можете перевести ICDW, и энергия не изменится. Однако неясно, какая непрерывная симметрия остается, поскольку решетка уже нарушила трансляционную симметрию. Чтобы добраться до сути вопроса, мы должны сосредоточиться на соответствующем гамильтониане, который представляет собой электрон + фонон.

ЧАС знак равно \sum_{к} ϵ_{к} с_{к}^{†} с_{к} + \sum_{д} ℏ ю_{д} б_{д}^{†} б_{д} + \sum_{к, д} грамм (к) с_{к + д}^{†} с_{к} б_{д} + час . с .

$H=\sum_k\epsilon_k c_k^\dagger c_k+\sum_q\hbar\omega_q b_q^\dagger b_q+\sum_{k,q}g(k)c_{k+q}^\dagger c_kb_q+h.c.$ куда

c_{k}^{†}

$c_k^\dagger$ а также

b_{q}^{†}

$b_q^\dagger$ - операторы рождения электрона и фонона соответственно и

h . c .

$h.c.$ обозначает эрмитово сопряжение члена взаимодействия. Этот гамильтониан инвариантен относительно непрерывного преобразования

с_{к} \to с_{к} е^{я к а ф} б_{д} \to б_{д} е^{я д а ф}

$c_k\to c_k e^{ika\varphi} \\ b_q\to b_q e^{iqa\varphi}$ на любой выбор

φ

$\varphi$ , а также

a

$a$ – постоянная решетки. Чтобы увидеть, что это важная фаза для CDW, рассмотрим простую одномерную систему с переходом Пайерлса. Там ВЗП вызывает конденсацию фононов и комплексный параметр порядка

Δ

$\Delta$ является

Δ знак равно | Δ | е^{я ф} знак равно грамм (2 к_{ф}) ⟨ б_{2 к_{ф}} + б_{- 2 к_{ф}}^{†} ⟩ .

$\Delta=|\Delta| e^{i\varphi}=g(2k_f)\langle b_{2k_f}+b_{-2k_f}^\dagger\rangle.$ Фаза

Δ

$\Delta$ выбирается спонтанным нарушением симметрии с

φ

$\varphi$ параметризация непрерывной симметрии, поэтому существует режим Голдстоуна. Для полноты плотность заряда равна

р_{0} + дельта р потому что (2 к_{ф} Икс + ф) .

$\rho_0+\delta\rho\cos(2k_f x+\varphi).$ Параметр заказа CDW я получил из этой ссылки .

При первоначальном рассмотрении непрерывная симметрия здесь оказывается обычной трансляционной инвариантностью ( $\psi_k\to \psi_k e^{ikr}$ ). Это не может быть правильным, так как трансляционная симметрия уже была нарушена при формировании решетки и фононов. Непрерывная симметрия, которая $H$ обладает $U(1)$ симметрия, которая является остатком полной трансляционной симметрии $\mathbb{R}=\mathbb{Z}\times U(1)$ . $U(1)$ компонент $\mathbb{R}$ является трансляционной симметрией с трансляцией, определенной только в элементарной ячейке решетки. Трансляция несколькими элементарными ячейками происходит от $\mathbb{Z}$ фактор $\mathbb{R}$ .

Разве эта непрерывная симметрия не эквивалентна непрерывной трансляционной инвариантности? Если представить, что электроны и фононы описываются некими локальными полями, то в разложении Фурье операторы аннигиляции обычно появляются в комбинации $c_ke^{ikx}$ и то же самое для $b_q$ . Тогда ваше фазовое преобразование эквивалентно $x\to x+a\varphi$ , нет?
Это не трансляционная инвариантность. Волновые числа в электронно-фононном гамильтониане ограничены первой зоной Бриллюэна. Это было не очевидно для меня, когда я впервые прочитал ваш комментарий, поэтому спасибо, что указали на это.
Ага, конечно, система определена на дискретной решетке! Можно ли еще определить локальную плотность сохраняющегося заряда для этой симметрии? Режим Голдстоуна — это гораздо больше, чем нулевой зазор. Он должен соединяться с сохраняющимся током (зарядом), который, в свою очередь, ограничивает его взаимодействие.
Вероятно, это очень глупый вопрос, но действительно ли член взаимодействия остается инвариантным при вашем преобразовании? Не $c^\dagger c b + c^\dagger c b^\dagger$ превратиться в $c^\dagger c b e^{i q a \varphi} + c^\dagger c b^\dagger e^{-i q a \varphi}$ ? Кроме того, как спрашивает @TomášBrauner, каков сохраняющийся ток, с которым связана симметрия U (1)?
Вы должны следить за $q$ индексы $c_{k+q}^\dagger c_k b_q\to (c_{k+q}^\dagger e^{-i(k+q)a\varphi})(c_{k} e^{ika\varphi})(b_q e^{iqa\varphi}).$ Другой член выполняется, потому что он эрмитово сопряжен. Поскольку $U(1)$ является остатком трансляционной инвариантности, сохраняющийся ток равен импульсу. Обратите внимание, что сохраняющийся ток, связанный с фононами, представляет собой импульс кристалла.

Оден Янг · Answer 2

использованная литература

Я нашел множество ссылок в научной литературе, в которых фазоны называются модой Голдстоуна. Ниже несколько примеров со ссылками:

«... мягкие, амплитудные и фазонные (голдстоуновские) моды ...» из « Фазовые переходы в жидких кристаллах » под редакцией Артура Н. Честера (формат книги Google, открытый на нужной странице здесь )
«Моды Голдстоуна, возникающие из магнитных спутников, состоят из мод поперечных спиновых волн и мод продольных фазонов ...» из реферата « Моды Голдстоуна и низкочастотная динамика несоизмеримых сплавов хрома » Р. С. Фишмана и С. Х. Лю (аннотация может быть нашел здесь )
«…самая сильная мода — это фазонная (Голдстоуновская) мода …» из Probability Measures on Semigroups: Convolution Products, Random Walks and Random Matrices Горана Хогнаса и Арунавы Мукерджи (формат книги google открыть на нужной странице здесь )
«... режим фазона (Голдстоуна) ...» из книги « Явления релаксации: жидкие кристаллы, магнитные системы, полимеры, высокотемпературные сверхпроводники, металлические стекла » под редакцией Вольфганга Хаазе (формат книги Google, открыть на нужную страницу здесь )

Этот поиск Google содержит больше ссылок. Это создает впечатление (как заявил tparker в комментариях), что это «морально», хотя и не строго режим Голдстоуна. Теперь возникает вопрос, какова фактическая связь между модами фазона/Голдстоуна.

Отношение

Поискав более подробное описание взаимосвязи между фазонами и модами Голдстоуна, я нашел этот вопрос физика.SE . Под одним ответом второй комментарий говорит

В моем понимании мода Голдстоуна всегда соответствует флуктуациям «фазы», тогда как флуктуации «амплитуды» можно назвать модой Хиггса. Поэтому, когда мы говорим о бесщелевой моде Голдстоуна в ВСП, это должно относиться к флуктуациям направлений спина, а не длины спина. Таким образом, я думаю, что в ВСП есть только «фазонные» возбуждения, но условно мы называем возбуждения «магнонными» или спин-волновыми (классический партнер). Я надеюсь, что этот комментарий может быть полезен для вас.

В этой статье также есть несколько соответствующих разделов, посвященных фазонам и модам Голдстоуна. В этой книге есть некоторая информация, которая может оказаться полезной, но, к сожалению, я не могу найти бесплатную копию в Интернете, а образец книги Google, на который я дал ссылку, также не включает некоторые соответствующие страницы.

Я также нашел цитату из книги « Жидкие кристаллы в девяностые и последующие годы» (под редакцией С. Кумара; формат книги гугла открыть на нужной странице здесь ) — «Мода Голдстоуна, представляющая собой фазонную моду с волновым вектором в центре дисперсии...", из-за чего кажется, что мода Голдстоуна - это мода фазона, а не наоборот.

Я нашел статью, которая также может помочь: «Динамика фазонов в нелинейных фотонных квазикристаллах » Барака Фридмана, Рона Лифшица, Джейсона Флейшера и Мордехая Сегева (pdf можно скачать здесь ). Раздел, который, по-видимому, имеет отношение к вашему гамильтонианскому вопросу, находится на последней странице, в последнем абзаце...". Таким образом, наблюдаемое поведение фазона представляет собой более общую гамильтонову динамику, обычно встречающуюся в неравновесном формировании паттерна. системы». Есть, конечно, и другие соответствующие разделы.

Надеюсь это поможет! Я буду продолжать обновлять это, поскольку я нахожу больше информации.

@tparker, дайте мне знать, если мне нужно добавить что-то еще к моему ответу; Я хотел бы улучшить его везде, где это возможно.
Что ж, строго говоря, мода Голдстоуна должна соответствовать спонтанно нарушенной непрерывной симметрии, а ВЗП не нарушает никаких непрерывных симметрий, поэтому фазон не является модой Голдстоуна в буквальном смысле в соответствии с обычным определением. Тот факт, что так много авторов называют это режимом Голдстоуна, кажется, усиливает мое подозрение, что это «морально» (хотя и не строго) режим Голдстоуна, но я хотел бы увидеть реальное обсуждение этого вопроса, а не просто мимолетную ссылку. .
@tparker, я только что нашел этот вопрос , в ответах на который есть несколько интересных комментариев; они могут вам помочь. Я обновил свой ответ соответствующим комментарием. Я буду продолжать искать дополнительную информацию.
Немного хорошей беготни там, Хизер.
Случай волны спиновой плотности немного отличается (в отсутствие приложенного поля), потому что направление спинов действительно нарушает непрерывную спиновую симметрию SU(2). Таким образом, существует истинная мода Голдстоуна (магноны), соответствующая медленным сдвигам в направлении, в котором указывают спины, а также фазоноподобная мода, соответствующая медленным сдвигам фазы амплитудной модуляции. Я думаю, что комментатор может спутать их.
Упомянутая вами статья, кажется, сначала определяет режим Голдстоуна как любой режим без зазоров, что я считаю немного небрежным. Затем позже говорится, что для кристалла, а не для квазикристалла, «фазон теряет свой статус голдстоуновской моды, возникающей из-за непрерывной симметрии», чего я не понимаю — о какой непрерывной симметрии они говорят? Квазикристаллы не обладают никакой симметрией, кроме дискретной вращательной симметрии относительно одной точки.
Эти ссылки полезны, но я все же хотел бы увидеть обсуждение, в котором явно указывается, что фазоны не соответствуют какой-либо спонтанно нарушенной симметрии исходного гамильтониана.

Саймон Лью · Answer 3

Является ли существование непрерывного вырожденного многообразия основного состояния более важным для «голдстоуновского» поведения, чем существование непрерывной спонтанно нарушенной симметрии?

Пара недавних статей Такахаски и Нитты посвящена этому вопросу: https://arxiv.org/pdf/1404.7696v3.pdf

https://arxiv.org/pdf/1410.2391v2.pdf

Авторы используют теорию Боголюбова, чтобы показать, что, когда основное состояние демонстрирует эмерджентные симметрии, т. е. такие, которые имеют генераторы, не коммутирующие с гамильтонианом, мы по-прежнему ожидаем бесщелевых мод, возникающих из генераторов непрерывного вырождения основного состояния, называемого квазиголдстоуновские моды. По существу, можно идентифицировать нуль-моды (собственные векторы $H_{k=0}$ с нулевым собственным значением), связанные с генераторами симметрии основного состояния. Однако я думаю, что этот результат основан на теории Боголюбова и, следовательно, наиболее актуален для конденсатов Бозе-Эйнштейна.

Кристин · Answer 4

Я думаю о том же самом вопросе две недели назад. И я подумал, что эта симметрия похожа на симметрию U(1) или что-то в этом роде, потому что система инвариантна при непрерывном изменении этой фазы тета, как вы и сказали.

Позже я обнаружил, что на самом деле это киральная симметрия полей, движущихся влево и вправо, и если вы запишете параметры порядка в виде двухкомпонентного вектора, изменяющегося $\theta$ это то же самое, что вращать этот «вектор параметров порядка». С другой стороны, варьируя $\theta$ совпадает с переводом распределения заряда. Таким образом, непрерывная киральная симметрия аналогична непрерывной трансляционной симметрии распределения заряда. Поэтому фазонный режим бесщелевой. Бесконечно малое отклонение d $\theta$ подобен очень длинноволновой акустической фононной моде.

Является ли фазон модой Голдстоуна?

тпаркер

Томаш Браунер

Рококо

тпаркер

тпаркер

тпаркер

тпаркер

тпаркер

Томаш Браунер

Ответы (4)

Джеймс Роуленд

Томаш Браунер

Джеймс Роуленд

Томаш Браунер

тпаркер

Джеймс Роуленд

Оден Янг

Оден Янг

тпаркер

Оден Янг

Джон Даффилд

тпаркер

тпаркер

тпаркер

Саймон Лью

Кристин

Если мы охладим топологически упорядоченную систему до нулевой температуры, окажется ли она в чистом или смешанном основном состоянии?

Спонтанное нарушение симметрии в модели Гейзенберга?

Модель Хаббарда в среднем поле: три разных подхода

Как эффект Мейснера объясняется теорией БКШ?

Количество мод Голдстоуна в модели Гейзенберга?

Вывод золотого правила Ферми для времени жизни квазиэлектронов

Как строго доказать, что состояние суперпозиции нестабильно в случае спонтанного нарушения симметрии

Как массивный фотон возникает в конденсированном аналоге механизма Хиггса? [дубликат]

Являются ли бозоны Голдстоуна обязательно частицами со спином 0?

Отличие бесщелевых возбуждений от голдстоуновских бозонов в физике конденсированного состояния