Работа с тензорными произведениями в экспоненте

Я только что нашел этот пост, потому что меня смутил тот же шаг. Но я думаю, что получил это сейчас с помощью поста @lionelbrits и комментария @Chris2807. Просто добавьте это для полноты и, возможно, помогите кому-то еще, кто борется с этим:

$$\begin{align} e^{(H_A \otimes I_B)} &= \sum_{n=0}^\infty\dfrac{(H_A \otimes I_B)^n}{n!} \\&= I_A \otimes I_B + H_A \otimes I_B + \dfrac{1}{2}(H_A \otimes I_B)^2 + ... \\&= I_A \otimes I_B + H_A \otimes I_B + \dfrac{1}{2}(H_A \otimes I_B)(H_A \otimes I_B) + ... \\&= I_A \otimes I_B + H_A \otimes I_B + \bigg(\dfrac{1}{2}(H_A)^2 \otimes (I_B)^2\bigg)+ ... \\&= (I_A + H_A + \frac{1}{2}(H_A)^2 + ... ) \otimes I_B \\&= e^{H_A}\otimes I_B \end{align}$$

где я также удалил -i и t и использовал это$(I_B)^n = I_B$с$n\in \mathbb{N}$.

Это действительно очевидно, если вы понимаете, как работают тензорные произведения. По сути, ваше состояние имеет два индекса вместо одного, а тензорное произведение операторов означает, что первый оператор действует на первый индекс, а второй оператор действует на второй. Оператор, работающий с «другим» индексом, просто соглашается. Если это поможет, вы можете записать экспоненту в виде ряда Тейлора. Тогда вы получите много сил$I$, который вы можете просто свернуть, используя$I^2 = I$.

Для полноты,

$$\left(U_A \otimes U_B\right) \; \left|\psi\right\rangle_A \otimes \left|\psi\right\rangle_B \equiv \left(U_A \left|\Psi\right\rangle_A \right) \otimes \left(U_B \left|\Psi\right\rangle_B \right)$$ Таким образом $$\begin{align} \left(U_A \otimes U_B\right)^2 \; \left|\psi\right\rangle_A \otimes \left|\psi\right\rangle_B &\equiv \left(U_A \otimes U_B\right) \left(U_A \otimes U_B\right) \; \left|\psi\right\rangle_A \otimes \left|\psi\right\rangle_B\\ &= \left(U_A \otimes U_B\right)\;\left(U_A \left|\Psi\right\rangle_A \right) \otimes \left(U_B \left|\Psi\right\rangle_B \right) \\ &= \left(U_A^2 \left|\Psi\right\rangle_A \right) \otimes \left(U_B^2 \left|\Psi\right\rangle_B \right) .\\ \end{align}$$