Статистическая сумма газа NNN идентичных классических частиц

Обратите внимание, что$e^{-\beta H}$безразмерна, а каждый множитель$dp$вносит один фактор с размерами импульса, в то время как каждый$dx$вносит один множитель с размерами длины. Поэтому каждый фактор$dp dx$вносит множитель с размерностью углового момента. Поскольку есть$3N$этих факторов (N частиц и 3 измерения) в мере интегрирования, интеграл имеет полную размерность углового момента в степени$3N$. С другой стороны,$h$имеет размерность углового момента, поэтому деление на$h^{3N}$делает полное выражение безразмерным.

Самый простой способ думать об этом состоит в том, что$\exp(\dots)$это просто число и не влияет на размерность. Тем не менее, у вас все еще есть$3N$факторы импульса и положения, лежащие вокруг, которые дадут вам размеры [Длина x Импульс]${}^{3N}$. Постоянная Планка имеет единицы длины x импульс, поэтому$3N$факторы$h$отменить$3N$коэффициенты, вытекающие из интеграла.

Фазовое пространство компонент координат и импульсов N частиц имеет в этом пространстве определенный размер, внутри которого находится ряд микросостояний, определяемых размером ячейки в квантованном фазовом пространстве (из-за неопределенности h для каждой степени свободы dx dp а для 3N степеней свободы N частиц) будет h^3N. Число возможных комбинаций этих N различимых частиц равно N! повторяется в числителе), но они неразличимы, мы должны исправить это, разделив величину b на N!.