Статистика Ферми-Дирака против статистики Максвелла Больцмана в атомном возбуждении лазерных систем

Question

Статистика Ферми-Дирака против статистики Максвелла Больцмана в атомном возбуждении лазерных систем

Испорченное молоко

В лазерах, связывая коэффициенты Эйнштейна с плотностью энергии (которая зависит от частоты), мы получаем:

U (ν) "=" \frac{\frac{Б}{А}}{е^{\frac{час ν}{к_{Б} Т}} - 1}

$U(\nu)=\frac{\frac{B}{A}}{e^\frac{h\nu}{k_{B}T}-1}$ Где

B

$B$ – коэффициент спонтанного излучения и

A

$A$ – коэффициент вынужденного излучения.

Далее мы связываем эту плотность энергии с планковской формулой плотности энергии излучения черного тела, которая

U (ν) "=" \frac{\frac{8 (π) час ν^{3}}{с^{3}}}{е^{\frac{час ν}{к_{Б} Т}} - 1}

$U(\nu)=\frac{\frac{8(\pi)h\nu^{3}}{c^{3}}}{e^\frac{h\nu}{k_{B}T}-1}$ Делая все это, мы предполагаем инверсию населенностей (для системы с двумя состояниями) и предполагаем, что атомы газа ведут себя максвелловско-больцмановским образом. Это верно, потому что возбужденные атомы следуют статистике Максвелла-Больцмана. Пусть основное состояние имеет энергию

E_{1}

$E_{1}$ и население

N_{1}

$N_{1}$ а первое возбужденное состояние имеет энергию

E_{2}

$E_{2}$ и население

N_{2}

$N_{2}$ , мы затем свяжем их

\frac{Н_{2}}{Н_{1}} "=" е^{\frac{- час ν}{к_{Б} Т}}

$\frac{N_{2}}{N_{1}}=e^{\frac{-h\nu}{k_{B}T}}$ Мой вопрос таков: Возбуждение может быть разной формы, атомарной, тепловой и т. д.; но когда мы говорим об атомном возбуждении, нам нужно обратиться к возбужденным электронам внутри атомов и впредь вводить понятие спина, потому что электроны — это фермионы, которые подчиняются принципу запрета Паули, так как теперь мы можем связать популяцию электронов в основном и возбужденном состояниях? в стиле МБ. Разве мы не должны использовать здесь статистику Ферми-Дирака? Если мы используем статистику FD, то с какой плотностью энергии мы свяжем плотность энергии коэффициентов (поскольку мы не можем связать ее с плотностью энергии излучения черного тела Планка)?

У меня есть ниже мои размышления:

$\frac{Н_{2}}{Н_{1}} "=" \frac{1}{е^{\frac{- Е_{ф} + Е}{к_{Б} Т}} + 1}$ $\frac{N_{2}}{N_{1}}=\frac{1}{e^{\frac{-E_{f}+E}{k_{B}T}}+1}$

Где

\frac{- Е_{ф} + Е}{к_{Б} Т} "=" \frac{- {[\frac{3 н}{π}]}^{\frac{2}{3}} \frac{{час}^{2}}{8 м} + час ν}{к_{Б} Т}

$\frac{-E_{f}+E}{k_{B}T}=\frac{-\left[\frac{3n}{\pi}\right]^{\frac{2}{3}}\frac{h^{2}}{8m}+h\nu}{k_{B}T}$

Где я определяю функцию $\gamma$ который меняется с частотой как

γ (ν) "=" - {[\frac{3 н}{π}]}^{\frac{2}{3}} \frac{час}{8 м} + ν

$\gamma(\nu)=-\left[\frac{3n}{\pi}\right]^{\frac{2}{3}}\frac{h}{8m}+\nu$

U (ν) "=" \frac{Б_{21}}{А_{21}} \frac{1}{\frac{А_{12}}{А_{21}}} \frac{1}{е^{\frac{γ (ν) час}{к_{Б} Т}} + 1}

$U(\nu)=\frac{B_{21}}{A_{21}}\frac{1}{\frac{A_{12}}{A_{21}}}\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}}+1}$

\frac{А_{12}}{А_{21}} "=" α

$\frac{A_{12}}{A_{21}}=\alpha$ Теперь умножаем числитель и знаменатель на

α

$\alpha$ Я получил уравнение, которое использовал для сравнения с плотностью энергии излучения BB Планка.

$U (ν) "=" \frac{Б_{21}}{А_{21}} α \frac{1}{α^{2} е^{\frac{γ (ν) час}{к_{Б} Т}} - [- α^{2} + α]}$ $U(\nu)=\frac{B_{21}}{A_{21}}\alpha\frac{1}{\alpha^{2}e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}}-{[-\alpha^{2}+\alpha}]}$

Теперь, сравнивая приведенную выше формулу с плотностью энергии излучения BB, я получил $\frac{B_{21}}{A_{12}}\alpha=\frac{8(\pi)h\nu^{3}}{c^{3}}$ и $-\alpha^{2}+\alpha=1$ Это квадратное уравнение дает два действительных корня и, сравнивая $\alpha^{2}=1$ получаем всего три возможных значения alpha,Ie

Случай первый: $\alpha= 1.618$

Второй случай: $\alpha=-0.618$

Случай третий: $\alpha=1$

Теперь, используя это в выражении плотности энергии, я получил Пусть $\frac{B_{21}}{A_{21}}=\beta$

Случай первый:

U (ν) \approx β \frac{1}{е^{\frac{γ (ν) час}{к_{Б} Т} + 0,5} + е^{- 0,5}}

$U(\nu)\approx\beta\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}+0.5}+e^{-0.5}}$

Случай второй:

U (ν) \approx β \frac{1}{е^{\frac{γ (ν) час}{к_{Б} Т} - 0,5} + е^{0,5}}

$U(\nu)\approx\beta\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}-0.5}+e^{0.5}}$

Случай третий:

U (ν) "=" β \frac{1}{е^{\frac{γ (ν) час}{к_{Б} Т}}}

$U(\nu)=\beta\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}}}$ Введение еще одного термина

ϵ

$\epsilon$ , который представляет собой химический потенциал системы, которую мы наблюдаем,

γ (ν) "=" - Е_{ф} + ν - ϵ

$\gamma(\nu)=-E_{f}+\nu-\epsilon$ Случай третий меняется как

U (ν) "=" β \frac{1}{е^{\frac{(- Е_{ф} + ν - ϵ) час}{к_{Б} Т}}}

$U(\nu)=\beta\frac{1}{e^{\frac{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h}{k_{B}T}}}$ Теперь приближение ряда Тейлора для e ^ x равно

е^{Икс} "=" 1 + \frac{Икс}{1!} + \frac{{Икс}^{2}}{2!} + . . . \approx 1 + Икс

$e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...\approx1+x$ На низких частотах

\frac{γ (ν) час}{к_{Б} Т} << 1

$\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}<<1$

е^{\frac{(- {[\frac{3 н}{π}]}^{\frac{2}{3}} \frac{час}{8 м} + ν - ϵ) час}{к_{Б} Т}} \approx \frac{(- Е_{ф} + ν - ϵ) час}{к_{Б} Т} + 1

$e^{\frac{(-\left[\frac{3n}{\pi}\right]^{\frac{2}{3}}\frac{h}{8m}+\nu- \epsilon)h}{k_{B}T}}\approx\frac{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h}{k_{B}T }+1$ Таким образом, плотность энергии становится

$U (ν) \approx β \frac{к_{Б} Т}{(- Е_{ф} + ν - ϵ) час + к_{Б} Т}$ $U(\nu)\approx\beta\frac{k_{B}T}{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h+k_{B}T}$

Сравнивая это с плотностью энергии излучения ВВ планка,

\frac{час ν}{к_{Б} Т} + 1 "=" \frac{(- Е_{ф} + ν - ϵ) час}{к_{Б} Т} + 1

$\frac{h\nu}{k_{B}T}+1=\frac{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h}{k_{B}T }+1$ Поэтому я говорю, что

Е_{ф} α \frac{- \partial U}{\partial Н}

$E_{f}\alpha\frac{-∂U}{∂N}$ где последний член

ϵ

$\epsilon$ , это верно, потому что потенциал Милликена (химический потенциал электрона) имеет аналогичную зависимость между энергией Ферми и химическим потенциалом.

Рококо

Я немного смущен некоторыми вещами, которые вы здесь сказали. Но я думаю, что проблема вот в чем: обычный вывод коэффициентов Эйнштейна идеализирует атом как систему с двумя состояниями, и в такой системе статистика Ферми не играет никакой роли. Реальный атом не является системой с двумя состояниями, и в некоторых случаях исключение Паули может повлиять на возможные переходы. Это действительно изменило бы теорию, но это должно быть прямым образом (в основном просто изменение вырождения данного перехода). Я хоть понял твой вопрос?

Испорченное молоко

@Rococo Да, просто когда мы рассматриваем атомное возбуждение, мы должны учитывать вращение электронов, что приведет к статистике FD, а не статистике MB, используемой для описания популяции электронов. Следовательно, когда мы это делаем, как мы можем тогда свести формулу, полученную для плотности энергии (когда мы приравниваем скорость поглощения к скорости излучения), к планковской плотности энергии для излучения BB.

Ответы (1)

Статистика Ферми-Дирака против статистики Максвелла Больцмана в атомном возбуждении лазерных систем

Я немного смущен некоторыми вещами, которые вы здесь сказали. Но я думаю, что проблема вот в чем: обычный вывод коэффициентов Эйнштейна идеализирует атом как систему с двумя состояниями, и в такой системе статистика Ферми не играет никакой роли. Реальный атом не является системой с двумя состояниями, и в некоторых случаях исключение Паули может повлиять на возможные переходы. Это действительно изменило бы теорию, но это должно быть прямым образом (в основном просто изменение вырождения данного перехода). Я хоть понял твой вопрос?
@Rococo Да, просто когда мы рассматриваем атомное возбуждение, мы должны учитывать вращение электронов, что приведет к статистике FD, а не статистике MB, используемой для описания популяции электронов. Следовательно, когда мы это делаем, как мы можем тогда свести формулу, полученную для плотности энергии (когда мы приравниваем скорость поглощения к скорости излучения), к планковской плотности энергии для излучения BB.

По симметрии · Answer 1

Ваши состояния 1 и 2 являются состояниями атома , т. е. ядра и всех связанных электронов, взятых вместе, и, следовательно, ваша маркировка уже должна учитывать статистику Ферми электронов на отдельном атоме. Другими словами, вы не говорите, что «атом а находится в состоянии 1 дважды», вы бы сказали: «Я возбудил один электрон, чтобы перевести атом в состояние 2, а затем возбудил второй, чтобы перевести его в какое-то другое состояние 3», и эта схема маркировки просто не удосуживается включить состояние, запрещенное принципом исключения.

Если электроны в состояниях, соответствующих генерационному переходу, сильно локализованы (что в газе они и будут), то никогда не возникает вопрос о двух электронах от разных атомов, пытающихся занять одно и то же состояние, и в этом случае статистика Ферми-Дирака сводится к максвелловской -статистика Больцмана. Другими словами, я могу считать электроны различимыми, потому что могу сказать, что один из них находится на атоме в положении $\mathbf{x}$ в то время как тот находится на атоме в позиции $\mathbf{y}$ .

под маркировкой 12 и 21 я подразумеваю, что электрон перешел из состояния один в состояние два и электрон перешел из состояния два в состояние один соответственно. Я сделал это, потому что коэффициенты Эйнштейна указывают на направленность электронов, так как при спонтанном и вынужденном излучении электрон переходит из состояния два в состояние один. Я отредактировал и добавил свои размышления, пожалуйста, посмотрите и прокомментируйте свои мысли. И спасибо!
Я не уверен, что вы имеете в виду здесь. Статистика Ферми-Дирака описывает статистику чисел заполнения состояний, а не переходы между ними. Единственный способ, которым он влияет на переходы, - это запрет определенных конечных состояний и изменение равновесной популяции.
Я имею в виду именно то, что вы говорите, потому что я говорю об изменении равновесных популяций и их распределении по уровням (поскольку из-за принципа исключения распределение изменится). Следовательно, не следует ли нам использовать функцию распределения FD, а не функцию распределения MB, когда мы говорим об атомных возбуждениях или, скорее, когда мы вводим спин. Здесь я предположил простую двухуровневую систему и провел свои расчеты.
Хорошо, моя точка зрения заключалась в том, что состояния на разных атомах различимы, поэтому статистика MB в этом случае верна, и при рассмотрении одного атома, если я возбудим атом дважды, я не увеличу заселенность более высокого энергетического состояния на 2, я ставлю атома в какое-то совершенно другое состояние, не включенное в двухуровневую картину, и статистика Ферми уже учтена при написании списка разрешенных атомных состояний.
Итак, на что похоже это уравнение, не могли бы вы пролить свет на это, а также, если возможно, пришлите мне ссылку. Спасибо!
Я утверждаю, что стандартный подход в каждом учебнике является правильным. Какое именно уравнение вы хотите?
О рассмотрении функции ФД для системы уровней (атома) с атомарным возбуждением.

Статистика Ферми-Дирака против статистики Максвелла Больцмана в атомном возбуждении лазерных систем

Испорченное молоко

Рококо

Испорченное молоко

Ответы (1)

По симметрии

Испорченное молоко

По симметрии

Испорченное молоко

По симметрии

Испорченное молоко

По симметрии

Испорченное молоко

По симметрии

Можно ли термически накачать лазер? (и проблемы с инверсией населения)

Когда именно взаимодействуют одинаковые фермионы?

Фермионные граничные условия при конечной температуре

Почему у нас нет частиц, волновые функции которых симметричны относительно одного оператора обмена и антисимметричны относительно другого оператора обмена?

Статистическая сумма бозонов против фермионов

Существуют ли примеры невырожденных ферми-газов?

Химический потенциал как функция температуры

Распределение Ферми-Дирака в высокотемпературном пределе

Для идеальных классических газов, с точки зрения энергетических уровней, почему мы игнорируем, являются ли частицы фермионами или бозонами?

Большая каноническая статистическая сумма гипотетических частиц