Когда именно взаимодействуют одинаковые фермионы?

Поясним это подробнее: рассмотрим одномерный потенциал

$$V_\ell(x) = \begin{cases} \infty \quad x \in \left(-\infty,-\ell-\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\ell + \frac{1}{2}, \ell - \frac{1}{2}\right) \cup \left( \ell + \frac{1}{2},\infty \right) \\ 0 \quad \ \ \text{else} \end{cases}$$

Позволять$\psi_{L,R}(x)$волновые функции для частицы с центром в левой или правой яме. Тогда волновые функции двух частиц равны

$$\Psi(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_L(x) \psi_R(y) - \frac{1}{\sqrt{2}} \psi_R(x) \psi_L(y)$$

вне зависимости от стоимости$\ell$.

Однако важный вопрос заключается в том, какие наблюдаемые мы хотим рассмотреть. Например, допустим, вы хотите вычислить вероятность найти одну частицу в интервале$I$который должен содержаться, скажем, в левом колодце. Эта вероятность

$$p(I) = 2 \int_I d x \int_{\mathbb{R}\setminus I} d y \ |\Psi(x,y)|^2 \ .$$

Фактор$2$впереди возникает, потому что мы должны интегрировать по регионам$x\in I, y \in \mathbb{R}\setminus I$и$x \in \mathbb{R}\setminus I, y \in I$, но их вклад одинаков. Благодаря опорным свойствам$\psi_{L,R}$волновые функции:

$$p(I) = \left[\int_I |\psi_L(x) | dx \right] \left[ \int_{\mathbb{R}\setminus I} |\psi_R(x)|^2 dx \right] = \int_I |\psi_L(x) | dx$$

где во втором равенстве использована нормировка. Поэтому, когда мы хотим рассчитать свойства только одной скважины, мы можем использовать волновую функцию, описывающую только одну скважину. Обратите внимание, что в действительности бесконечных ям не существует, поэтому волновые функции будут иметь некоторые экспоненциальные хвосты вне ям. Тогда ошибка, которую мы допускаем при расчете свойств с одноямными волновыми функциями, затухает как$e^{- C \ell}$, с$C$размер барьера.