Стоячая волна и оптическая мода в кристалле

Я хочу понять, как, когда длина волны$\lambda$равно 2а, где а - постоянная решетки, две соседние строительные частицы кристалла движутся в противоположных направлениях. Общая формула смещения частицы из положения равновесия:

$U_n=Ue^{i(k\cdot a\cdot n -\omega t) }$.

Теперь, если длина волны$\lambda = 2a$это означает, что волновое число равно$k=\frac \pi a$. В любой момент времени смещение между частицей в положении n и частицей в положении n+1 должно быть противоположным, то есть если для частицы в положении n смещение имеет отрицательное значение, это означает, что она находится слева от положение равновесия, а частица в положении n+1 должна быть справа, что означает положительное значение смещения, но абсолютные значения смещений для обеих частиц должны быть равны. Когда я подключаю следующие значения:$k=\frac \pi a$, t=0, я получаю комплексное число и не вижу обратного движения. Может ли кто-нибудь помочь мне, показав мне с помощью расчетов, что действительно для$k=\frac \pi a$две соседние частицы движутся в противоположном направлении.

И по поводу оптических фононов. Первое условие их существования состоит в том, что в кристаллической решетке должно быть не менее 2 разных атомов. Другой из википедии:

«Оптические фононы — это противофазные движения атомов в решетке, один атом движется влево, а его сосед — вправо».

И этот тип движения происходит только для самой короткой длины волны/наибольшего значения волнового числа. Означает ли это, что оптические фононы существуют только тогда, когда длина волны распространяющейся волны минимальна, т.е.$k=\frac \pi a$?