Как количество атомов в базисе влияет на плотность состояний?

Question

Как количество атомов в базисе влияет на плотность состояний?

Золото

Имея дело с фононами и удельной теплоемкостью твердых тел, кажется, что действительно важной величиной, которую нужно получить, является плотность состояний $N(\omega)$ . Когда она у нас есть, мы можем найти внутреннюю энергию как

U (Т) "=" \int Н (ю) \frac{ℏ ю}{е^{- ℏ ю / к_{Б} Т} - 1} д ю,

$U(T)=\int N(\omega) \dfrac{\hbar \omega}{e^{-\hbar\omega/k_BT}-1}d\omega,$

и имея его мы также можем найти удельную теплоемкость

С (Т) "=" \frac{\partial U}{\partial Т} .

$C(T)=\dfrac{\partial U}{\partial T}.$

Теперь способ найти $N(\omega)$ обычно так: если реальная решетка имеет примитивную ячейку с объемом $V$ , объем примитивной ячейки $k$ -пространство $(2\pi)^3/V$ . Это означает, что, поскольку на примитивную ячейку приходится только одна точка решетки Браве, $V/(2\pi)^3$ точки $k$ -решетка на единицу объема.

Это, в свою очередь, приводит к интегралам вида

Н (ю) д ю "=" \frac{В}{(2 π)^{3}} \int д к,

$N(\omega)d\omega=\dfrac{V}{(2\pi)^3}\int d\mathbf{k},$

где интеграл берется по области между $\omega$ и $\omega+d\omega$ или эквивалентно

Н (ю) "=" \frac{В}{(2 π)^{3}} \int \frac{д С}{| \nabla_{к} ю |},

$N(\omega)=\dfrac{V}{(2\pi)^3}\int\dfrac{dS}{|\nabla_\mathbf{k}\omega|},$

где интеграл берется по поверхности $\omega$ .

Это все хорошо, учитывая одно дисперсионное соотношение $\omega(\mathbf{k})$ мы можем найти $N(\omega)$ используя эти интегралы, и с $N(\omega)$ мы можем найти $U(T)$ и поэтому $C(T)$ .

С другой стороны, что, если в основе решетки Браве более одного атома? Например, 2-атомная основа?

Это довольно распространено, но я не понимаю, как это влияет на весь этот вывод. Наивным было бы предположить, что $N(\omega)$ будет умножено на $2$ , но это всего лишь предположение. Итак, как же влияет на это рассуждение количество атомов в основе, а значит, и на термодинамические свойства кристалла, вроде удельной теплоемкости?

Прасад Мани

Я не думаю, что это зависит от количества атомов. Это зависит от количества примитивных ячеек, рассматриваемых внутри объема K-пространства.

Золото

То есть, если в основе два или более атомов, то есть в каждой примитивной ячейке больше одного атома, это не повлияет на результаты?

Прасад Мани

Плотность состояний находится путем дифференцирования количества разрешенных мод (вибрации) N с волновым вектором

< K

$<K$ (в

3 D

$3D$ к

N =

$N=$

\frac{V}{2 π^{3}}

$\frac{V}{2\pi^3}$ .

\frac{4 π K^{3}}{3}

$\frac{4\pi K^3}{3}$ )... это автоматически учитывает все. Я могу ошибаться, но утверждение «количество допустимых мод колебаний, т.е. количество фононных мод, действительно зависит от количества атомов, но когда мы переводим в K-пространство, элементарная ячейка (вместе с числом атомов в ней) получает переводится соответствующим образом, чтобы вам не приходилось учитывать это отдельно. Опять же, я могу ошибаться. Хороший вопрос, однако.

Прасад Мани

Просто примечание здесь; в квантовой модели свободных электронов, если рассматриваемый атом вносит более одного электрона, мы соответственно умножаем на количество электронов проводимости при нахождении плотности состояний!

Ответы (1)

Как количество атомов в базисе влияет на плотность состояний?

Я не думаю, что это зависит от количества атомов. Это зависит от количества примитивных ячеек, рассматриваемых внутри объема K-пространства.
То есть, если в основе два или более атомов, то есть в каждой примитивной ячейке больше одного атома, это не повлияет на результаты?
Плотность состояний находится путем дифференцирования количества разрешенных мод (вибрации) N с волновым вектором $<K$ (в $3D$ к $N=$ $\frac{V}{2\pi^3}$ . $\frac{4\pi K^3}{3}$ )... это автоматически учитывает все. Я могу ошибаться, но утверждение «количество допустимых мод колебаний, т.е. количество фононных мод, действительно зависит от количества атомов, но когда мы переводим в K-пространство, элементарная ячейка (вместе с числом атомов в ней) получает переводится соответствующим образом, чтобы вам не приходилось учитывать это отдельно. Опять же, я могу ошибаться. Хороший вопрос, однако.
Просто примечание здесь; в квантовой модели свободных электронов, если рассматриваемый атом вносит более одного электрона, мы соответственно умножаем на количество электронов проводимости при нахождении плотности состояний!

Прасад Мани · Answer 1

Я собираюсь использовать модель Дебая, чтобы прояснить, насколько я могу, ваши сомнения.

Дебай предположил, что число мод колебаний в кристаллическом твердом теле ограничено $3N$ , число поступательных степеней свободы $N$ атомов (посмотрите, как он удобно упускает из виду число атомов в примитивной решетке и все другие подробности о ней), чтобы объяснить действительную атомную природу кристаллического твердого тела. Минимальная длина волны в задаче определяется расстоянием между атомами. Звуковые волны не могут распространяться через твердое тело с длиной волны, меньшей расстояния между атомами, потому что в середине нет ничего, что могло бы трястись. Разрешенные моды менялись по частоте затем от нуля до некоторой максимальной частоты. Получить $\omega_D$ , набор Дебая (я использую $g$ вместо твоего $N$ для обозначения плотности состояний.)

$\int \limits_{0}^{\omega_D} g(\omega) d\omega$ "=" $3N$

Теперь я надеюсь, что вы знаете, что $g(\omega)$ "=" $\frac{3V}{2\pi^2v^3}$ $\omega^2$ для фононных мод (3 в числителе приходится на две поперечные и одну продольную поляризацию и $v$ в знаменателе скорость звука).

Подводя итог, мы просто смотрим на весь твердый кристалл и подсчитываем количество атомов в нем (очевидно) — не заботимся о примитивной элементарной ячейке или количестве содержащихся в ней атомов — а затем просто выполняем приведенный выше интеграл, где мы фактически начинаем учитывать количество атомов в кристалле (и, следовательно, технически еще не в примитивной ячейке; мы просто замалчиваем это)

Я понимаю, что ваш вопрос был о том, влияет ли число атомов в примитивной ячейке как-то на плотность состояний, и ответ отрицательный. Потому что мы считаем количество ФОНОНОВ на единицу частотного диапазона. $\omega$ к $\omega$ + $d\omega$ а не атомы или что-то еще

Как количество атомов в базисе влияет на плотность состояний?

Золото

Прасад Мани

Золото

Прасад Мани

Прасад Мани

Ответы (1)

Прасад Мани

Численная плотность LO- и LA-фононов в зависимости от температуры?

Что на самом деле представляет собой волновой вектор в контексте фононов и колебаний решетки?

Почему существует глобальный минимум для потенциала Морзе?

Фононная плотность состояний

Что произошло бы, если бы у нас была кристаллическая структура, но только гравитационные взаимодействия?

Теплоемкость из-за фононных колебаний

Почему одноатомный кристаллический слой (2D) не может быть стабильным?

Зачем нам нужно квантование для колебаний решетки?

Частицы парамагнетизма со спином 1/2 — статистическая сумма

Как в материале возникает уравнение теплопроводности из фононов? А от электронов?