Стоячая волна на закрепленной с двух сторон веревке: знак минус в отраженной волне

Question

Стоячая волна на закрепленной с двух сторон веревке: знак минус в отраженной волне

волны
нить
Физика
вмешательство
граничные условия
механика сплошных сред

Сёрен

Я изучаю стационарные волны на закрепленной с обеих сторон веревке . В некоторых книгах я нахожу, что изучаемая волновая функция представляет собой сумму падающей волны $\xi_1(x,t)$ и отраженной волны $\xi_2(x,t)$ .

\begin{matrix} (1) & ξ (Икс, т) "=" ξ_{1} (Икс, т) + ξ_{2} (Икс, т) "=" А с я н (к Икс - ю т) + А с я н (к Икс + ю т) "=" 2 А с я н (к Икс) с о с (ю т) \end{matrix}

$\xi(x,t)=\xi_1(x,t)+\xi_2(x,t)=A \mathrm{sin} (k x-\omega t)+ A \mathrm{sin}(kx+\omega t)=2 A \mathrm{sin}(kx)\mathrm{cos}(\omega t)\tag{1}$

Итак, это сумма двух волн, которые отличаются только тем, что одна является прогрессивной, а другая регрессивной.

Мои сомнения связаны с тем, что закрепленный конец веревки не может двигаться, так что это полное отражение $\xi_1(x,t)$ но отраженная волна $\xi_2(x,t)$ находится в оппозиции по фазе (т.е. направлена вниз) по отношению к $\xi_1(x,t)$ . Так что не следует $\xi_2(x,t)$ быть

ξ_{2} (Икс, т) "=" - А с я н (к Икс + ю т)

$\xi_2(x,t)=- A \mathrm{sin}(kx+\omega t)$

? Ситуация как на картинке.

Тогда, если это было правильно, $(1)$ изменится на

\begin{matrix} (2) & ξ (Икс, т) "=" ξ_{1} (Икс, т) + ξ_{2} (Икс, т) "=" А с я н (к Икс - ю т) - А с я н (к Икс + ю т) "=" 2 А с о с (к Икс) с я н (ю т) \end{matrix}

$\xi(x,t)=\xi_1(x,t)+\xi_2(x,t)=A \mathrm{sin} (k x-\omega t)- A \mathrm{sin}(kx+\omega t)=2 A \mathrm{cos}(kx)\mathrm{sin}(\omega t)\tag{2}$

Я что-то упустил или рассуждения как-то верны? Если да, то $(2)$ и $(1)$ эквивалент?

Qмеханик

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/32122/2451 и ссылки там.

Ответы (2)

Стоячая волна на закрепленной с двух сторон веревке: знак минус в отраженной волне

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/32122/2451 и ссылки там.

Диракология · Answer 1

Они не эквивалентны. Чтобы убедиться в этом, нужно найти нормальные моды, связанные с этими решениями.

Применение условия $\xi(L,t)=0$ к

ξ (Икс, т) "=" 2 А с я н (к Икс) с о с (ю т),

$\xi(x,t)=2 A \mathrm{sin}(kx)\mathrm{cos}(\omega t),$ Вы получаете

k L = n π

$kL=n\pi$ . Это дает

λ_{n} = 2 L / n

$\lambda_n=2L/n$ и

f_{n} = n v / 2 L

$f_n=nv/2L$ . Каковы правильные длина волны и частота для веревки с закрепленными обоими концами.

Для второго решения

ξ (Икс, т) "=" 2 А с о с (к Икс) с я н (ю т),

$\xi(x,t)=2 A \mathrm{cos}(kx)\mathrm{sin}(\omega t),$ вы получаете

k L = (2 n - 1) π / 2

$kL=(2n-1)\pi/2$ . Длина волны и частота

λ_{n} = 4 L / (2 n - 1)

$\lambda_n=4L/(2n-1)$ и

f_{n} = (2 n - 1) v / 4 L

$f_n=(2n-1)v/4L$ , которые связаны с нормальными модами веревки с одним закрепленным концом и одним свободным концом.

Следовательно, первое решение является правильным. С другой стороны, вы правы, когда говорите, что отраженная волна должна инвертировать свою фазу. Решение этого кажущегося парадокса состоит в том, что отражение не просто $A\sin(kx-\omega t)\rightarrow -A(kx+\omega t)$ . Если вы позвоните $f(x-vt)$ падающая волна и $g(x+vt)$ отраженная волна, полное решение

ξ (Икс, т) "=" ф (Икс - в т) + г (Икс + в т) .

$\xi(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt).$ Применение

ξ (0, t) = 0

$\xi(0,t)=0$ мы получаем

f (- v t) = - g (+ v t)

$f(-vt)=-g(+vt)$ или

g (x^{'}) = - f (- x^{'})

$g(x')=-f(-x')$ ,

\forall x^{'}

$\forall x'$ . В частности, это имеет место, когда

x^{'} = x + v t

$x'=x+vt$ . Суперпозиция читается

ξ (Икс, т) "=" ф (Икс - в т) - ф (- (Икс + в т)) .

$\xi(x,t)=f(x-vt)-f(-(x+vt)).$ Если

f (x - v t) = A \sin (k x - ω t)

$f(x-vt)=A\sin(kx-\omega t)$ , затем

ξ (Икс, т) "=" А грех (к Икс - ю т) + А грех (к Икс + ю т) .

$\xi(x,t)=A\sin(kx-\omega t)+A\sin(kx+\omega t).$

Как мы видим, правильное отражение для гармонической волны равно

А грех (к Икс - ю т) \to - А грех (- (к Икс + ю т)) "=" А грех (к Икс + ю т) .

$A\sin(kx-\omega t)\rightarrow -A\sin(-(kx+\omega t))=A\sin(kx+\omega t).$

Обратите внимание, что если вы использовали $A\cos(kx\pm \omega t)$ вместо этого вы получите отражение

А потому что (к Икс - ю т) \to - А потому что (к Икс + ю т) .

$A\cos(kx-\omega t)\rightarrow -A\cos(kx+\omega t).$

@Sørën Пожалуйста, взгляните еще раз на ответ. Я попытался сделать то, что вы упомянули, ясным.
Спасибо! Теперь яснее, позвольте спросить, я до сих пор не очень ясно вижу, как правильно идти от $f(-vt)=-g(vt)$ к $g(x')=-f(-x')$ с $x'=x+vt$ . Я имею в виду условие $f(-vt)=-g(vt)$ действует в $x=0$ (это граничное условие), то можем ли мы сказать, что оно автоматически справедливо для любого другого $x$ , т.е. $g(x')=-f(-x')$ с $x'=x+vt$ ?

ЗАЧАСОН · Answer 2

Если разность фаз волны равна нулю, т.е. лежит в плоскости движения волны, то результирующее смещение равно нулю. Таким образом, $A = 0$ , $(L,t)=0$ , поэтому вы можете использовать

А грех (к Икс - ю т) \to - А грех (- (к Икс + ю т)) "=" А грех (к Икс + ю т)

$A\sin(kx−\omega t)\to-A\sin(-(kx+\omega t))=A\sin(kx+\omega t)$ для прогрессивной волны, но ничего не может произойти, когда вы используете правило косинуса, потому что дайте нам ответ, равный нулю для максимальных узлов, но

\sin Q = 1

$\sin Q = 1$ .

Стоячая волна на закрепленной с двух сторон веревке: знак минус в отраженной волне

Сёрен

Qмеханик

Ответы (2)

Диракология

Диракология

Сёрен

ЗАЧАСОН

Почему деструктивная интерференция не останавливает волну?

Отражение волн и интуитивное понимание граничных условий с открытым концом

Вывод скорости поперечной волны для малых амплитуд

Граничные условия для волнового уравнения

Как поперечные волны на струне могут переносить продольный импульс?

Какое движение будет иметь струна, если условие образования стоячих волн не выполняется?

Вибрирующая струна, граничное условие на свободном конце

Решение волнового уравнения (уравнения в частных производных) [закрыто]

Почему KE равно PE для волн на струне? Требуется уточнение

Неверный результат для стоячей волны на веревке со свободными концами [закрыто]