Вибрирующая струна, граничное условие на свободном конце

Открытое граничное условие означает, как сказано в вопросе, что на границе никакая сила не действует на конец струны в направлении удлинения.

Поскольку кончик струны имеет бесконечно малую массу, мы можем рассуждать так, как если бы рассматривали условия статического равновесия (если бы силы, создаваемые струной, отличались бы от сил, вызываемых стенкой, на конечную величину, конец струны бесконечно ускоряться, что нефизично).

Силы, действующие на конец струны, можно легко проанализировать: сила действует в направлении струны (поскольку идеальная струна по определению не имеет сопротивления изгибу) и равна по величине натяжению струны.

Это означает, что сила, параллельная границе, отсутствует, если направление струны перпендикулярно поверхности. Это условие, очевидно, может быть закодировано в требовании, чтобы$\partial_x u = 0$(как$u$это$y$координата строки в позиции$x$, поэтому строка перпендикулярна границе, если наклон графика равен нулю).

Я думаю, что ответ Себастьяна Ризе отражает суть аргумента. Просто чтобы добавить к этому для тех, кому это может быть интересно, вот математическая версия аргумента:

Пусть строка простирается от$x = 0$к$x = L$и разреши$u(x)$быть$y$координата каждой точки струны. Рассмотрим часть строки из$x = 0$к$x = b$и примените к нему второй закон Ньютона, который гласит, что сумма внешних сил, действующих на эту часть струны, равна сумме масс, умноженных на ускорение элементов, составляющих часть струны. Рассмотрим$y$компонент этого уравнения, то струна рассматривается как сплошная среда, последняя величина может быть выражена как интеграл плотности струны, умноженный на производную второго порядка от$u(x)$относительно времени,$\int_0^b \rho u_{tt}(x) dx$.

Теперь рассмотрим внешние силы, действующие на часть струны в$y$направление. Внутренние силы из-за натяжения струны не вносят вклад в результирующую силу из-за закона действия-противодействия, так что результирующие силы возникают только в конечных точках струны. В$x = 0$, потому что конец строки должен оставаться на$x = 0$но в остальном свободно двигаться$y$, результирующая сила вдоль$y$нулевой. В$x = b$, результирующая сила будет результатом натяжения струны (атомы слева и справа от$x = b$тянут друг друга, но только атом слева является частью рассматриваемой части струны). Натяжение представляет собой силу, направленную вдоль струны,$y$составляющая силы в$x = b$является$T \frac{u_x}{\sqrt{1+u_x^2}} \approx T u_x$где$T$является величиной напряжения. Поэтому второй закон Ньютона вдоль$y$читает

$T u_x(b) = \int_0^b \rho u_{tt}(x) dx$

Теперь предположим, что$u_x(x)$является непрерывным и что$u_{tt}(x)$непрерывна и ограничена, переходя к пределу$b \rightarrow 0$урожаи$u_x(0) = 0$, что является граничным условием.