Математическая основа квантовой механики [дубликат]

У вас будет более чем достаточно математики для первых двух семестров квантовой механики, если вы изучаете функциональный анализ в курсе математики.

К подавляющему большинству книг по квантовой механике в приложении прилагается необходимая математика. Это верно независимо от того, хотите ли вы более сложные математические обработки (например, классический текст фон Нейммана) или менее строгие гайки и болты.

Таким образом, хотя вам, возможно, придется искать теорию распределений в другом месте (например, правильный способ обработки дельта-функции Дирака), по большей части вам не нужно знать ее, чтобы заниматься физикой, или, скорее, она просто загромождает обозначение.

Это более или менее верно и для квантовой теории поля (где, например, вам нужно знать некоторую теорию групп), и опять же, в большинстве текстов будет обсуждаться необходимый материал, хотя, конечно, в зависимости от того, как далеко вы продвинетесь, это приведет к активным исследовательским областям, где знание немного эзотерической математики иногда действительно пригодится.

Книги Дувра хорошие и дешевые. Например, вот «Математика для квантовой механики ».

Хорошим местом для поиска рекомендаций по книгам для математических физиков является эта страница Джона Баэза:

• книги , как учить математику и физику

Я должен согласиться с другими в том, что лучший способ изучить математические основы QM - это изучить QM, вы сами увидите, какие математические инструменты вам придется изучать дальше.

В любом случае, вот несколько советов: Если вы решите посетить курс математики по функциональному анализу, обратите внимание, что он посвящен линейным операторам в гильбертовом пространстве, ведущим к спектральной теореме. Это та часть функционального анализа, которая вам понадобится в первую очередь в QM. «Функциональный анализ» — это широкая тема, и многие математические факультеты начинают с более абстрактных вещей, которые вам понадобятся позже (например, банаховых алгебр или топологических векторных пространств).

Вот пример книги, специально предназначенной для особых нужд физиков, изучающих КМ:

• Нино Боккара: «Функциональный анализ. Введение для физиков».

Он короткий, в нем все подробно объясняется и освещаются основные темы для QM:

• Измерение и интеграция

• Пространства Лебега

• Гильбертовы пространства

• Распределения, преобразования Фурье и Лапласа

• Линейные операторы, ограниченные и неограниченные, спектральная теория

Наиболее важным фоном является распространение линейной алгебры на бесконечномерные векторные пространства. Итак, вы вводите банаховы и гильбертовы пространства,$L^p$и обратите внимание, что только$L^2$(это пространство квантовых волновых функций) является гильбертовым пространством.

Вы должны изучить линейный оператор на$L^2$, и$l^2$: много внимания следует уделить сопряженным операторам, эрмитовым и антиэрмитовым операторам, унитарным операторам, проекторам ... После этого определение нормы вектора и оператора, а также ограниченного и неограниченного оператора (ограниченный оператор - это непрерывный оператор), и теорема Рисса. Если вы изучите теорию меры Лебега, то лучше.

Важно также определение тензорного произведения многих гильбертовых пространств (только конечное тензорное произведение гильбертовых пространств снова является гильбертовым пространством).

И последнее, но не менее важное: анализ Фурье, понятие полного и ортонормированного базиса, скалярные произведения и обобщенные ряды Фурье; Зеленые функции.

Все эти определения и аргументы можно найти, например, в этой книге: Reed M, Simon B, Methods Of Modern Mathematical Physics, математически очень строгой и точной.