Существует ли известная метрика, которая дает закон силы 1/r1/r1/r?

Я предполагаю, что вы хотите, чтобы ваша метрика была сферически симметричной и асимптотически стремилась к плоскому пространству-времени. В этом случае вы хотите что-то вроде:

$$\mathrm ds^2 = -a(r)\mathrm dt^2 + \frac{\mathrm dr^2}{b(r)} + \mathrm d\Omega^2$$

где оба$a(r)$а также$b(r)$должны стремиться к одному для больших$r$.

А$1/r$Закон о силе потребует, чтобы символ Кристоффеля$\Gamma^r_{tt}$примерно$1/r$. Один быстрый взмах Mathematica позже, и я получаю:

$$\Gamma^r_{tt} = -\tfrac{1}{2}b(r)~\frac{\mathrm da(r)}{\mathrm dr}$$

В качестве быстрой проверки, для метрики Шварцшильда мы ожидаем$\Gamma^r_{tt}$примерно$1/r^2$чтобы получить закон обратных квадратов. Для этого показателя:

$$a(r) = b(r) = 1-\frac{2GM}{c^2r}$$

Так:

$$\Gamma^r_{tt} = -\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)\frac{GM}{c^2r^2}$$

и в пределе$r \rightarrow\infty$мы получаем$\Gamma^r_{tt}\propto 1/r^2$как мы ожидаем. Все идет нормально.

Так что вам просто нужно найти две функции$a(r)$а также$b(r)$так что оба стремятся к единице в целом$r$а также:

$$b(r)~\frac{\mathrm da(r)}{\mathrm dr} \approx \frac{1}{r}$$

для больших$r$. Обычно вы ищете такие функции, как$1+f(r)$куда$f(r)$становится маленьким в большом$r$а также$\mathrm df/\mathrm dr \propto 1/r$, но это даст$f = \ln(r)$и это не идет к единству в целом$r$. Без сомнения, наши более опытные математики могут сразу придумать решение, но я должен признаться, что ничего не приходит в голову.