Об уравнении Гамильтона для заряженной частицы в магнитном поле

То, что происходит, можно очень легко увидеть в подходе преобразования Лежандра. Гамильтониан связан с лагранжианом (в одном измерении)

$$H = v\frac{\partial L}{\partial v} - L,$$

и поэтому взятие дифференциалов этого выражения дает нам

$$dH = vd\left(\frac{\partial L}{\partial v}\right) + \frac{\partial L}{\partial v}dv - dL,$$

и по цепному правилу$dL$является

$$dL = \frac{\partial L}{\partial v}dv + \frac{\partial L}{\partial x}dx.$$

Все вместе это дает нам

$$dH = vd\left(\frac{\partial L}{\partial v}\right) - \frac{\partial L}{\partial x}dx.$$

А поскольку канонический импульс определяется как$p = \frac{\partial L}{\partial v}$, у нас есть

$$dH = vdp - \frac{\partial L}{\partial x}dx.$$

Это означает, что когда вы используете гамильтониан, вы меняете свои переменные с$(x,v)$к$(x,p)$. Таким образом, вы не можете написать гамильтониан относительно$v$, всегда следует писать относительно$p$.

В лагранжевой формулировке$v$рассматривается как зависящий только от времени, тогда как в гамильтоновой формулировке$v$является функцией не только времени. Это изменение означает, что вам нужно знать форму$v$чтобы взять его производные, а его форма задается каноническим выражением импульса.

Я полагаю, что ваша проблема связана с тем, что вы записали гамильтониан в терминах скорости (первое выражение), тогда как его всегда следует записывать в терминах обобщенных положений и импульсов (второе выражение): т.е.$H = H(q_k, p_k, t)$против$L = L(q_k, \dot{q_k}, t)$. Если вы не будете следовать этому правилу, вы столкнетесь с некоторыми бессмысленными результатами, подобными тому, который вы получили, который кажется математически строгим.

Каждое выражение, которое вы применяете к гамильтониану, например$\dot{p_k} = -\frac{\partial H}{\partial q_k}$работает только в том случае, если вы выразили его в терминах правильных величин, то есть импульса и положения.

Оба гамильтониана эквивалентны и оба дают одни и те же уравнения движения.

Действительно, используя первое уравнение Гамильтона, мы получаем соотношение между скоростью$v_x = (dx/dt)$и импульс

$$v_x = \frac{\partial H}{\partial p_x} = \frac {p_x-qA_x}{m}$$

что подразумевает$v_x = v_x(p_x,x)$и это причина, по которой гамильтониан может быть записан в альтернативных формах

$$H = \sum_{x,y,z} \frac{1}{2}mv_i^2 =\sum_{x,y,z} \frac {(p_i-qA_i)^2}{2m}$$

Второе уравнение Гамильтона можно получить из любого выражения для гамильтониана

$$\frac {d p_x}{d t} = - \frac {\partial H}{\partial x} = - \frac {\partial \sum \frac {1}{2} mv_i^2}{\partial x} = - m v_x \frac {\partial v_x}{\partial x} = q v_x \frac {\partial A_x}{\partial x} \neq 0$$

$$\frac {d p_x}{d t} = - \frac {\partial H}{\partial x} = - \frac{1}{2m} \frac {\partial \sum (p_i-qA_i)^2}{\partial x} = q \left(\frac {p_x-qA_x}{m} \right) \frac {\partial A_x}{\partial x} \neq 0$$

Рассмотрим аналогичную, но гораздо более простую математическую задачу:

H - функция, определенная над двумерным пространством x, y

$$H = x^2 + 0y = x^2 \ \ \ (1)$$ Очевидно, $\frac{\partial H}{\partial y}=0$.

Если преобразовать координаты матрицей$\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$, то (х, у) --> (х+у, у). Использование p = x + y обозначает новые координаты как (p, y), тогда H выражается как

$$H = (p-y)^2$$ и $\frac{\partial H}{\partial y}\ne0$.

Главный вывод заключается в том, что преобразование координат действительно влияет на частные производные даже одной и той же функции по одной и той же переменной.