Алгоритм Дирака-Бергмана, не оканчивающийся в (1+1)-мерной U(1)U(1)U(1) заряженной скалярной КЭД

Я пытаюсь вычислить полный набор ограничений второго класса, которые определяют (1 + 1)-мерный$U(1)$скалярная КЭД после полной фиксации калибровки. (В частности, я хотел бы использовать кулоновское$\partial_1 A_1=0$в сочетании с временным датчиком$A_0=0$). Поскольку это абелева калибровочная теория, я полагаю, что это возможно. Я бы хотел, чтобы модель описывалась с использованием периодических граничных условий на полях. (Со вселенной пространственной окружности$L$.) Однако кажется, что алгоритм Дирака не завершается, и вторичные ограничения продолжают накапливаться:

Лагранжиан, который я использую,

$$L = \int_{-L/2}^{L/2} dx \, \mathcal L = \int_{-L/2}^{L/2} dx \,\left( -\frac 1 4 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + |D_\mu\phi|^2 - V(\phi) \right),$$ с метрическим соглашением$\eta=\text{diag}(1,-1)$, с$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$и где$D_\mu = \partial_\mu-igA_\mu$. Следовательно,$|D_\mu\phi|^2 = {D_\mu}^* D^\mu = (\partial_\mu+igA_\mu)\phi^*(\partial^\mu-igA^\mu)\phi$). Для полноты уравнения движения (и определение сохраняющегося тока$J^\mu$, т.е.$\partial_\mu J^\mu = 0$) являются: $$\partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu \equiv ig((D^\nu\phi)^*\phi - \phi^* D^\nu \phi)$$ $$D_\mu D^\mu \phi = - \frac{\partial V}{\partial \phi} \quad \text{(and its conjugate.)}$$

С этого момента я буду использовать пониженные индексы по большей части (и я буду опускать аргументы).

Импульсы, включающие наше основное ограничение, кажутся (обратите внимание,$\approx$это слабое равенство Дирака, утверждающее, что оно должно выполняться на поверхности ограничений)

$$\Pi_0 = \frac{\delta \mathcal L}{\delta (\partial_0 A_0)} \approx 0,$$ $$E_1 = \frac{\delta \mathcal L}{\delta (\partial_0 A_1)} = F_{01} = \partial_0 A_1 - \partial_1 A_0,$$ $$\pi^* = \frac{\delta \mathcal L}{\delta (\partial_0 \phi)} = (D_0\phi)^*,$$ $$\pi = \frac{\delta \mathcal L}{\delta (\partial_0 \phi^*)} = D_0\phi.$$

Это означает, что наш первичный гамильтониан (после преобразования Лежандра и вычеркивания некоторых терминов)

$$H_p = \int_{-L/2}^{L/2} dx \, \left( \frac 1 2 E_1^2 + |\pi|^2 + |D_1\phi|^2 + V(\phi) + A_0 [J_0-\partial_1 E_1] \right),$$ где$J_0 = ig(\pi^* \phi - \pi \phi^*)$. (С этого момента я буду предполагать равновременные коммутационные отношения между полями и их импульсами, т.е.$\{\phi(x), \pi(y)\} = \delta(x-y)$. Здесь$\{\cdot,\cdot\}$скобка Пуассона.)

Давайте теперь выполним (наивный) алгоритм Дирака (я не буду рассматривать$A_0$в качестве множителя Лагранжа закон Гаусса будет нашим вторичным ограничением). Начнем с нашего основного ограничения$\Gamma_1 \equiv \Pi_0 \approx 0$. Сохранение этого ограничения во времени дает нам наше вторичное ограничение:$\Gamma_2 \equiv \dot \Gamma_1 = \{\Pi_0, H_p\} = J_0-\partial_1 E_1 \approx 0$, что является законом Гаусса для этой модели. После этой точки нет дополнительных ограничений, так как$\dot \Gamma_2 = \{\Gamma_2, H_p\} = 0$(строго нулевой, так как каждый член вычеркивается). Это первичное и вторичное ограничение вместе образуют набор из двух ограничений первого класса ($\{\Gamma_1, \Gamma_2\} = 0$).

Теперь мы добавляем вручную наше первое каноническое условие фиксирования калибровки в качестве еще одного ограничения. Цель добавления этих дополнительных ограничений в конечном итоге состоит в том, чтобы их набор стал вторым классом (чтобы каждое ограничение имело неисчезающую скобку Дирака по крайней мере с одной другой). ограничение). Это первое условие будет соответствовать условию кулоновской калибровки.$\Gamma_3 \equiv \partial_1 A_1 = 0$. Сохранение во времени этого ограничения дает нам$\Gamma_4 \equiv \dot \Gamma_3 = \{\Gamma_3, H_p\} = \partial_1 E_1 - \partial_1^2 A_0 \approx 0$. Обычно (например, у свободного Максвелла в (3+1) измерениях) это приводит к выводу, что$A_0 = 0$.

Похоже, здесь что-то идет не так: в этой (1 + 1)-мерной модели это ограничение (а также закон Гаусса) может быть решено, но не похоже, что$A_0 = 0$вообще эквивалентно (так как же тогда мы можем использовать временное калибровочное условие$A_0=0$?). Что еще более важно, это обычно последнее ограничение, при котором алгоритм завершает работу, оставляя нам четыре ограничения второго класса. Однако если мы просто примем это ограничение за чистую монету, нам придется продолжить алгоритм и вычислить его сохранение во времени, которое, похоже, не исчезает:$\Gamma_5 \equiv \dot \Gamma_4 = \{\Gamma_4, H_p\} = ig \partial_1 J_1 \approx 0$. Другими словами, это ограничение не является комбинацией предыдущих, поэтому нам нужно его добавить. Мы можем продолжать в том же духе в течение долгого времени, добавляя все больше и больше ограничений, например$\Gamma_6 \sim O(g^3)$. Кажется, что-то идет не так, но что именно?

У меня есть смутное ощущение, что это может быть как-то связано с тем фактом, что нулевая компонента сохраняющегося тока$J_0$содержит ковариантную производную$D_0$и, следовательно, поле$A_0$, чего не произошло бы, если бы скаляр был заменен, скажем, фермионом.