S-матрица, полученная непосредственно с точки зрения картины взаимодействия

Рассмотрим квантово-механическую систему с гамильтонианом

$$H=H_0+H_{\text{int}}.$$

Учитывать$H_0$быть независимым от времени, так что связанный с ним оператор эволюции во времени равен$U_0(t,t_0)=e^{-i(t-t_0)H_0}$.

Обозначим через$S(t,t_0)$оператор эволюции во времени, связанный с$H$. Из таких книг, как Пескин и Шварц, я понял, что в случае КТП S-матрица в конечном итоге определяется как

$$\langle f |S|i\rangle = \lim_{t_\pm\to \pm\infty}\langle f | S(t_+,t_-)|i\rangle$$

где$|i\rangle,|f\rangle$являются собственными состояниями$H_0$. Другими словами,$S$определяется в терминах оператора временной эволюции полного гамильтониана .

Оказывается, в заметках Дэвида Тонга о QFT он делает это только с оператором эволюции изображения во времени. Другими словами, оператор$U(t,t_0)$который развивает состояния картины взаимодействия

$$|\psi(t)\rangle_I=U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle_I$$

Он говорит

Это означает, что мы принимаем начальное состояние$|i\rangle$в$t\to -\infty$, и конечное состояние$|f\rangle$в$t\to +\infty$, чтобы быть собственными состояниями свободного гамильтониана$H_0$. На каком-то уровне это звучит правдоподобно: на$t\to-\infty$, частицы в процессе рассеяния находятся далеко друг от друга и не испытывают влияния друг друга. Кроме того, мы интуитивно ожидаем, что эти состояния будут собственными состояниями отдельных числовых операторов.$N$, которые коммутируют с$H_0$, но нет$H_{\mathrm{int}}$. Когда частицы приближаются друг к другу, они ненадолго взаимодействуют, прежде чем снова разойтись, и каждая идет своей веселой дорогой. Амплитуда, чтобы перейти от$|i\rangle$к$|f\rangle$является

$$\lim_{t_{\pm}\to\pm\infty}\langle f | U(t_+,t_-)|i\rangle = \langle f | S |i\rangle$$

где унитарный оператор$S$называется S-матрицей.

его$U$оператор — оператор эволюции во времени в картине взаимодействия, вычисляемый по формуле Дайсона в терминах$H_{\mathrm{int}}$на картинке взаимодействия.

Что я хочу понять, так это то, как вывести, что S-матрица может быть вычислена так же, как он, используя только эволюцию изображения взаимодействия во времени.$U$.

Кажется, я не понимаю, потому что у меня есть$S(t,t_0)=e^{iH_0(t-t_0)}U(t,t_0)$таким образом

$$\langle f|S|i\rangle=\lim_{t_{\pm}\to \pm \infty}\langle f |S(t_+,t_-)|i\rangle=\lim_{t_{\pm}\to\pm \infty} \langle f | e^{iH_0(t_+-t_-)} U(t,t_0)|i\rangle$$

затем используя это$|f\rangle$является собственным состоянием$H_0$я получил

$$\langle f | S | i\rangle = \lim_{t_{\pm}\to \pm\infty} e^{i\omega_f (t_+-t_-)} \langle f | U(t_+,t_-)|i\rangle.$$

Так что определения не совпадают. Вот эта экспонента впереди. И что еще хуже, экспонента расходится.

Что здесь происходит не так? Как я могу сделать вывод, что эти два подхода одинаковы?