Мне было интересно, почему кто-то когда-либо думал, что мы можем найти разложение для собственных состояний некоторого возмущенного гамильтониана в терминах для базисного гамильтониана. Мой лектор настаивал на том, что это произошло потому, что собственные состояния гамильтониана являются полными, однако исходя из моего (ограниченного) понимания математической основы КМ:
Когда вам дан гамильтониан, он поставляется с гильбертовым пространством функций, на которые он действует (с учетом некоторых условий, которые мы накладываем, таких как квадратичная интегрируемость функций по Лебегу)
Когда вам дан другой гамильтониан, нет гарантии, что он будет действовать в том же самом гильбертовом пространстве.
Поэтому то, что гамильтониан нулевого порядка имеет собственные состояния, образующие полный базис для пространства, на котором действует ti, не гарантирует, что эти же собственные состояния образуют полный базис для гильбертова пространства, на котором действует возмущенный гамильтониан.
Как простой пример. Я могу представить себе добавление небольшого возмущающего магнитного поля к гамильтониану, в котором изначально его нет, так что мы теряем вырождение в собственных состояниях, учитывающих разные спины частицы. Можно сказать, что у нас одно и то же гильбертово пространство до и после, но мы теряем вырождение; или у меня возникло бы искушение сказать, что наше первоначальное гильбертово пространство не имело этих дополнительных измерений, соответствующих спиновым состояниям. Таким образом, вместо собственных состояний базисного гамильтониана, также образующих полную основу для измененного гамильтониана, но имеющего вырождение собственных значений, которое снимается при пуртубации, я бы сказал, что наше гильбертово пространство изменилось. Ведь если принять прежнюю точку зрения (т. базис, учитывающий спин, но с вырождением), тогда кажется, что для любой проблемы нам нужно знать и учитывать КАЖДОЕ возможное системное свойство, которое можно различить. Мне это не кажется разумным....
ПРИМЕЧАНИЕ:
1) Мой вопрос задавался здесь ранее: Теория возмущений в квантовой механике: предположения о собственных векторах
хотя есть только обсуждение и не дано окончательного ответа. Я вижу, что это различие важно в релятивистской КМ, и случай добавления потенциала к гамильтониану свободной частицы кажется особым. Хотя я до сих пор не уверен, каков ответ на общие возмущения.
2) Аналогичный вопрос здесь: Природа возмущенного состояния в теории возмущений?
но, кажется, полностью избегает ответа на вопрос.
Некоторые потенциальные ловушки теории возмущений хорошо известны в справочных материалах, например, проблемы с фундаментальным утверждением о том, что «небольшое» возмущение соответствует «небольшому» отклонению от исходных собственных векторов/собственных значений. Например, взгляните на главу XII в Reed and Simon's Methods of Mathematical Physics, Vol 4 или главу 2 Kato's Perturbation Theory for Linear Opperators, 2ed. Тем не менее, как показано в этих ссылках, при некоторых сильных предположениях можно обнаружить регулярное поведение.
В случаях, которые обычно исследуются в теории возмущений, исходный и возмущенный гамильтониан являются самосопряженными, как это обычно утверждается в контексте физики (конечно, проблема истинной самосопряженности операторов является постоянной проблемой в физике и, безусловно, имеет большое значение). был изучен во многих других вопросах на этом сайте). Это дает вам полноту в условиях спектральной теоремы.
В этом смысле я бы не беспокоился так, как вы, об операторах, действующих в разных пространствах, особенно в примере, который вы предлагаете об эффекте Зеемана. Тот факт, что вы игнорировали спин до возмущения, просто показывает, что вы пропускали изучение этого вырождения. Это вырожденное пространство не особенно больно, так как вы можете найти ортонормированный базис и заниматься физикой без проблем. Если подумать, нас могли бы в равной степени беспокоить и другие вырождения, возникающие, например, из-за спина ядра или даже из-за возбуждения электромагнитного поля. Формализмы были разработаны, чтобы включить их, мы просто начинаем, сосредотачиваясь на более простом подпространстве. В конце концов, как только мы напишем , мы неявно предполагаем, что все они действуют в одном и том же гильбертовом пространстве. Экспериментально возмущение просто открывает окно в подпространство, которое мы ранее игнорировали.
Льюис Миллер