Существуют ли топологические нетривиальные состояния в нулевой размерности?

Периодическая таблица топологических изоляторов и сверхпроводников предполагает, что могут быть топологические нетривиальные фазы в нулевой размерности в невзаимодействующих системах с определенными симметриями. 0D-систему можно рассматривать как отдельный атом, квантовую точку или любую систему с дискретными уровнями энергии (без полос, без зоны Бриллюэна).

Существуют ли физические 0D-системы, которые топологически нетривиальны , по крайней мере, теоретически? Как в этом случае определить топологический инвариант и каков его физический смысл?

введите описание изображения здесь

Из-за периодичности Ботта размерность г знак равно 0 имеет ту же классификацию симметрии, что и г знак равно 8 .

Систему 0D можно рассматривать как один атом. Она может иметь симметрию обращения времени/частицы и дырки и, следовательно, может быть топологически нетривиальной. В такой системе по определению нет ни положения, ни импульса, поэтому трудно иметь нетривиальные свойства, связанные с транспортом.
Например, квантовую точку можно рассматривать как 0D, поэтому вы можете применить классификацию. Но физическая интерпретация инвариантов в большинстве случаев действительно очевидна: например, для класса A (т.е. ИКЭХ в 2D) 0D Z это просто U ( 1 ) заряд системы. Я думаю, то же самое для класса AII (т.е. TI в двух и трех измерениях). Для класса D, Z 2 является фермионной четностью. Я не сразу знаю толкование Z инвариант для класса BDI.
@MengCheng Понятно, что системы 0D являются физическими (отдельные атомы, квантовые точки) и что эти системы могут демонстрировать различные комбинации антиунитарных симметрий (частица-дырка, обращение времени, киральность, как в таблице). Но вопрос в том, известны ли физические реализации (хотя бы теоретически) топологических нетривиальных состояний в 0D-системах? Может быть, какая-нибудь ссылка?
@FraSchelle Я согласен с тем, что системы 0D не могут иметь граничных состояний именно по той причине, что у них нет краев. Однако в принципе возможно определить топологический инвариант.
@sintetico Поскольку вы согласны с тем, что квантовые точки являются 0D физическими системами, тогда мы можем просто рассмотреть класс A (имеется в виду, что есть только U (1), никакой другой антиунитарной симметрии) и поместить в него разное количество электронов.
@MengCheng В квантовой точке могут быть и другие антиунитарные симметрии. Например, квантовая точка в магнитном зеемановском поле нарушает обращение времени, а без магнитного поля — нет.
Конечно, вы всегда можете добавить симметрии. Все, что я сказал, это то, что как раз с U(1) существуют нетривиальные 0D топологические состояния.
Будьте осторожны, применяя здесь периодичность Ботта. Подобные топологические системы обычно имеют операторы эволюции во времени, NLSM-фермионы и т. д., которые лежат на многообразии, зависящем от количества узлов, и периодичность Ботта работает, потому что размерность этого многообразия стремится к бесконечности в термодинамическом пределе бесконечного числа. сайтов. 0D-система, вероятно, имеет только один сайт, поэтому, если ваша модель сильно не сжимает эту точку, периодичность Ботта неприменима.
Кроме того, периодичность Ботта находится в измерении сферы, отображенной в целевом пространстве («размерность гомотопической группы», в определенном, но нередком злоупотреблении языком), а не в измерении физической системы.
@calavicci, периодичность Ботта применяется в том смысле, в котором количество энергетических уровней системы доводится до бесконечности. Это не столько термодинамический предел, сколько приближение, позволяющее каждому узлу иметь все больше и больше внутренних степеней свободы. Я не понимаю, почему у квантовой точки не может быть произвольно много внутренних степеней свободы.
Ясно, что речь идет о размерности гамильтониана, а не физической системы. Нулевые измерения означают дискретность энергетического спектра, а не то, что геометрические размеры физических систем равны нулю (точка в пространстве).
@sintetico, это ложь. Размерность в периодической таблице Китаева относится к размерности физического пространства. Я даже не знаю, что вы бы назвали «размерами гамильтониана» (возможно, размером матрицы?).
Размер гамильтониана, конечно, не имеет ничего общего с размерами. Но измерение в периодической таблице не относится строго к измерению физического пространства. Представьте себе гамильтониан одномерной системы, параметризованный как функция непрерывной и периодической переменной. θ . Этот гамильтониан ЧАС ( к , θ ) явно двухмерный. Возьмем, к примеру, четырехмерный квантовый эффект Холла, который определяется в двух пространственных измерениях плюс два «синтетических» измерения.

Ответы (1)

Кажется, существует физическая реализация квантовой точки, которая может находиться в двух изолирующих фазах. Несколько условно можно назвать одну фазу обычной, а другую топологической. Суть в том, что нельзя преобразовать одну фазу в другую, не закрыв зазор. Мое прочтение следующих статей (я не физик) говорит мне, что на практике происходит следующее: между двумя фазами квантовой точки наблюдается сверхпроводящая фаза.

Сомбати Д.Б. и др. «Джозефсоновский ϕ0-переход в квантовых точках нанопроволоки» Nature Physics 12.6 (2016): 568.

Марра, Паскуале, Роберта Ситро и Алессандро Браджио. «Сигнатуры топологических фазовых переходов в разрывах тока-фазы Джозефсона». Физический обзор B 93.22 (2016): 220507.

Причина, по которой я говорю, что способ присвоения одной из фаз ярлыка топологической несколько произволен, заключается в том, что существуют странности в определении К 2 группа С * -алгебры. Они восходят к произвольному выбору, который делается при определении пфаффиана кососимметричной матрицы.

Здесь нет границы. То, что мы видим, является тем же основным явлением, что и при превращении изолятора Черна в обычный изолятор. Получается что-то вроде металлического поведения в объеме.

Так что мой ответ: да.

Спасибо за ваш очень полезный ответ! Можете ли вы объяснить немного больше, почему выбор является произвольным на математическом уровне? Насколько я понимаю из приведенных выше статей, разница между топологической и нетопологической фазой оправдывается тем фактом, что определение Пфаффа можно непрерывно расширять от 0D до 1D случая (модель Китаева).
Я опираюсь на те бумаги, которые я перечислил в своем ответе. Я не читал их какое-то время. Если предел одномерного случая говорит нам, какая фаза является топологической, отлично. Я имел в виду статью Китаева "Периодическая таблица топологических изоляторов и сверхпроводников". Его определение тривиального 0D-изолятора в классе D кажется мне немного произвольным. В отличие от этого в более высоких измерениях. Там мы обычно идентифицируем тривиальные изоляторы с щелями в системе с периодическими граничными условиями как те, которые остаются с щелями, когда гамильтониан модифицируется для введения открытых граничных условий.
Что касается математики, проблема заключается в том, что трудно отличить пфаффиан от отрицательного пфаффиана. Что касается определителя, мы рады видеть, что единичная матрица имеет положительный определитель. Для пфаффиана мы рассматриваем только кососимметричные матрицы. Почему [0 1; -1 0] получить положительный пфаффиан, в то время как [0 -1; 1 0] отрицательно? Ни одна из них на самом деле не является более простой матрицей.
Существуют ли топологические нетривиальные состояния в нулевой размерности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v