Является ли это топологическим инвариантом Z2Z2\mathbb Z_2 (Majorana-) в *любом* измерении?

Рассмотрим невзаимодействующий сверхпроводящий гамильтониан произвольной размерности. Это наиболее удобно выразить в терминах ладов Майораны, которые определяются как

γ 2 н − 1 "=" с н + с н †  и  γ 2 н "=" − я ( с н − я с н † )
для каждой сложной фермионной моды с н . Для удобства маркируем н "=" 1 , 2 , ⋯ Н где Н — это количество наших сайтов, но я не предполагаю одномерную структуру (т. е. я не навязываю понятие локальности по отношению к этой маркировке). Тогда общий гамильтониан записывается как
ЧАС "=" я ∑ н , м γ н А н м γ м
где А е р 2 Н × р 2 Н является антисимметричным: А Т "=" − А .

Требование зазора над основным состоянием эквивалентно требованию, чтобы дет А ≠ 0 . (Действительно: положительные собственные значения А говорят нам энергии одночастичных возбуждений.) Но в этом случае знак пфаффиана А является четко определенной величиной (т. пф А дет А ).

Это, по-видимому, дает топологическую Z 2 инвариант, не зависящий от размерности! Но это должно быть неверно, так как классификация невзаимодействующих топологических изоляторов/сверхпроводников говорит нам, что этот класс гамильтонианов ("класс D") имеет только Z 2 инвариант, когда размерность пространства г "=" 1 мод 8 .

Ответы (1)

[Отказ от ответственности: я нахожу вывод несколько неожиданным, поэтому, возможно, он предварительный, но другого выхода я не вижу.]

Как указал Китаев (ср. уравнение (19) в его основополагающей статье ), приведенное выше Z 2 инвариант на самом деле просто равен фермионной четности (= четности числа фермионов) основного состояния, т.е. п | ψ ⟩ "=" ± | ψ ⟩ . Это согласуется с тем, что мы знаем о цепочке Китаева/Майорана: при закрытых граничных условиях фермионная четность основного состояния равна − 1 .

Отсюда становится ясно, что вышеизложенное Z 2 инвариант действительно хорошо определен в любом измерении ! Единственный выход должен быть: например, в размерах г "=" 3 , 4 , 5 , 7 (для которого "D-класс" имеет лишь тривиальную фазу в соответствии с классификационной таблицей, см. табл. 3 статьи Рю и др. ) невозможно записать гамильтониан, для которого основное состояние имеет нечетное число фермионы. (Чтобы сделать это точным, должны быть некоторые условия: например, « для четного числа сайтов », « с четко определенным термодинамическим пределом », ...)

Подводя итог : Z 2 инвариант действительно хорошо определен, но не всегда можно найти пример, реализующий нетривиальное значение.

Рассмотрим гораздо более простой пример сложных классов таблицы: всегда можно определить номер обмотки, но он отличен от нуля только в том случае, если БЗ нечетной размерности.
Наверняка вы можете найти системы нечетной четности в любом измерении: просто сложите цепи Китаева друг на друга подходящим образом. Это может указывать на решение: не все инварианты одинаково проявляются на границе. В частности, группы в периодической таблице являются сильными инвариантами, связанными с верхними тусклыми циклами в BZ (в невзаимодействующей, трансляционно-инвариантной физике). Есть еще много слабых инвариантов, связанных с более низкими тусклыми.
Является ли это топологическим инвариантом Z2Z2\mathbb Z_2 (Majorana-) в *любом* измерении?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v