Есть ли аналог конфигурационного пространства в квантовой механике?

Да, есть геометрический подход, называется он, как нетрудно догадаться, геометрическим квантованием. Если вы почитаете литературу по этому вопросу, вы найдете много красивых результатов, ниже я опишу основную идею.

Геометрическое квантование работает с фазовым пространством, а не с конфигурацией, т.е. вы начинаете с симплектического многообразия. На самом деле это более общий случай, потому что если у вас есть конфигурационное многообразие, соответствующее симплектическое многообразие будет просто его кокасательным расслоением с естественной симплектической структурой.

Вы должны исправить дополнительные геометрические данные — поляризацию. Это полуранговое интегрируемое распределение, поэтому локально на фазовом пространстве у вас есть слоение, определяющее, какое направление соответствует «координатам», а какое — импульсам. Например, в обычном случае "p,q" вы берете полуранговое распределение, т.е. полуранговое подрасслоение касательного расслоения, порожденное${\partial\over\partial p}$, поэтому он генерирует «направление импульса», а поперечное направление соответствует «координатам».

Затем вы строите линейное расслоение предварительного квантования, которое является эрмитовым линейным расслоением с эрмитовой связностью, так что его кривизна пропорциональна симплектической форме (обычная нормализация${i\over 2\pi}R = \omega$, где$R$-- кривизна,$\omega$-- симплектическая структура), так что симплектическая форма есть как раз первый класс Черна этого линейного расслоения. Вам не нужна поляризация для этого шага. Но на самом деле вам нужно, чтобы первый класс Черна расслоения был целочисленным, что можно рассматривать как общий случай (который в компактном случае соответствует условию, что фазовое пространство имеет целочисленный объем в единицах$(2\pi\hbar)^{dim/2}$).

Затем вы рассматриваете пространство сечений этого расслоения и берете его подпространство, аннулированное, но связность (ковариантную производную), взятую по поляризации. Что получилось (точнее,$L^2$-замыкание интегрируемых с квадратом сечений из полученного подпространства) определяется как гильбертово пространство задачи. В стандартном примере вы берете функции на фазовом пространстве, аннулированные${\partial\over\partial p}$, которые являются просто функциями$\psi(q)$зависящие только от координат, а затем рассмотрим интегрируемые с квадратом функции координат.

Затем для каждой (гладкой) функции на многообразии вы строите операторы в этом пространстве. Для этого существуют разные рецепты, я не буду их здесь описывать.

Следует также отметить, что существует еще одна версия геометрического квантования — квантование Березина-Теплица — где вам не нужна поляризация в смысле, описанном выше. Вместо этого вы определяете гильбертово пространство либо как ядро$Spin^c$Оператор Дирака, или как ядро ​​«перенормированного оператора Бохнера-Лапласиана». Этот подход довольно вычислим, особенно в случае, когда симплектическое многообразие на самом деле келерово (в этом случае стандартное геометрическое квантование тоже хорошо работает, поскольку существует каноническая голоморфная поляризация).

Также нужно добавить, что, поскольку глобального понятия координаты в общем случае нет, нет и «координатного оператора», вместо этого вы строите операторы, соответствующие гладким функциям на многообразии.

И еще одно замечание: условно можно сказать, что интеграл по путям может обеспечить такое бескоординатное описание. Но на самом деле интеграл по путям сам по себе не является четко определенным понятием, не существует четко определенного и инвариантного понятия интегрирования по бесконечномерному пространству путей вообще. Чтобы определить интеграл пути, вам нужно исправить некоторые дополнительные данные, вам нужно «упорядочить» их (дискретизировать, расширить режим и т. д.). Во многих случаях это также будет включать в себя определение координат. Также в общем случае такая регуляризация может нарушить координатную инвариантность фазового пространства.

Интеграл по траекториям нельзя считать честным рецептом. В общем, это просто эвристический инструмент, используемый физиками в тех случаях, когда у них нет лучшего инструмента. Хотя в некоторых частных примерах интеграл по траекториям может быть оправдан.

Если вы работаете с интегралом по путям для определения квантовой системы, то интеграл по путям суммируется по путям, живущим на многообразии. Мера интегрирования задается действием, являющимся интегралом по заданному пути, и определяется без обращения к конкретной системе координат.