Свободный электронный газ в двух измерениях

TylerHG: Да, плотность состояний легко вычислить. Но на самом деле я спрашиваю здесь «почему».

Обратите внимание, что тонкое круглое кольцо в$\mathbf{k}$-пространство толщины$dk$имеет площадь$dA=2\pi k\,dk$(по элементарной геометрии). В$E$-пространство, так как$E\propto k^2$, это кольцо соответствует участку шириной$dE=2k\,dk$.

Таким образом

$$\frac{dA}{dE}=\pi.$$ Но $A\propto N$, поэтому плотность состояний постоянна.

Легко показать, что общее количество электронов в трехмерной фермисфере равно:

$$N(e)=\frac{V}{3\pi^2}*k_F^3$$

Где$k_F$волновой вектор Ферми и$V$реальный объем вашей сферы.

Теперь, если вы переставите для$k_F$с точки зрения общего количества электронов вы получите конкретное уравнение.

Это известно, что

$$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$$

где$k$— произвольный волновой вектор.

Заменив$k$выше для$k_F$вы можете получить уравнение для энергии с точки зрения$\frac{N(e)}{V}$т.е. числовая плотность.

Измените это уравнение энергии, чтобы сделать$N(e)$предмет и дифференцировать по энергии и вуаля! У вас есть плотность состояний (как функция энергии) для трехмерной сферы Ферми и исчерпывающее объяснение того, почему она имеет$E^\frac{1}{2}$зависимость.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я рекомендую сделать это на реальном листе бумаги, чтобы лучше понять мое объяснение. Я намеренно опустил некоторые детали, чтобы вы были вынуждены это сделать! Кроме того, я предлагаю попробовать ту же идею для, возможно, более простого одномерного случая.