Связь формального определения представления и теории поля

Как физик, изучающий теорию репрезентации с более математической точки зрения, я сначала не понимаю, как обе точки зрения сочетаются друг с другом.

---

Представительство$\pi$алгебры Ли$\mathfrak g$понимается как отображение, являющееся гомоморфизмом групп,

$$\pi:\mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V)$$

где$\mathfrak{gl}(V)$просто$\mathrm{End}(V)$, группа линейных операторов из$V$к себе. Тогда мы имеем, что линейное действие алгебры$\mathfrak g$в векторном пространстве$V$дан кем-то,

$$\pi(g) V "=" gV$$

где$g\in\mathfrak g$. Таким образом, представление определяет, как группа действует в конкретном пространстве. Теперь мой вопрос заключается в том, как мы можем связать это с представлением о представлениях в квантовой теории поля.

---

В качестве конкретного примера рассмотрим двумерную конформную теорию поля. Если$|\psi\rangle$является первичным собственным состоянием обоих$L_0$и$\tilde L_0$, то мы можем получить кучу других, а именно,

$$L_{-1} |\psi\rangle$$ $$L_{-1} L_{-1} |\psi \rangle, \quad L_{-2} |\psi\rangle$$ $$L_{-1}L_{-1}L_{-1} |\psi\rangle, \quad L_{-1}L_{-2}|\psi\rangle, \quad L_{-3}|\psi\rangle$$

и так далее. На языке текстов по физике часто говорят, что мы «строим представления» алгебры Вирасоро, воздействуя на первичные, и их называют неприводимыми представлениями алгебры Вирасоро. Я хотел бы уточнить эту связь теперь с представлениями.

1. В этом примере это было бы$\pi$явно быть?
2. Предполагая$\mathfrak g$здесь алгебра Вирасоро, что было бы$V$в$\pi : \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(V)$в этом случае?