Некоторые вопросы по статье "AdS-описание калибровочной теории индуцированного высшего спина"

По последнему вопросу, я не уверен, насколько хорошо вы разбираетесь в теории представлений, но верен следующий факт: возьмите so(d,2) (для этой работы нам понадобится so(3,2)), используйте конформную базу , т.е. генераторы Лоренца$L_{ab}$, переводы$P_a$, конформные бусты$K_a$и расширение$D$,$a,b=1..d$.$P$и$K$ведут себя как повышающие/понижающие генераторы по отношению к$D$,$[D,P]=+P$,$[D,K]=-K$. Возьмите вакуум, чтобы нести спин-s представление алгебры Лоренца и вес$\Delta$в отношении$D$, т.е.$|\Delta\rangle^{a_1...a_s}$. Когда$\Delta=d+s-2$, существует сингулярный вектор,$P_m|\Delta\rangle^{ma_2...a_s}$. Это стандартная теория представлений: поиск повышающих/понижающих операторов, определение вакуума, поиск сингулярных векторов. На самом деле сингулярные векторы — это именно те конформно-инвариантные уравнения, которые можно наложить.

На полевом языке это означает, что$\partial_m J^{m a_2...a_s}=0$является конформно-инвариантным уравнением тогда и только тогда, когда конформная размерность$J$является$\Delta=d+s-2$. Несмотря на то, что$J^{a_1...a_s}$является хорошим конформным оператором для любого значения конформной размерности, только для$d+s-2$его дивергенция расцепляет. (Возможно, вы видели$L_{-2}+\alpha L_{-1}^2$как сингулярный вектор в алгебре Вирасоро, теперь он заменен на$P_m$или$\partial_m$).

Теперь, имея$J^{a_1..a_s}$веса$\Delta$мы можем рассматривать его контраградиентное представление или на языке поля связать его через$\int \phi_{a_1..a_s}J^{a_1...a_s}$в какое-то другое поле$\phi$. То, что нам нужна конформно-инвариантная связь, подразумевает$\Delta_\phi=d-\Delta_J=s-2$. Неудивительно, что для$\Delta_J=d+s-2$.

Я еще не читал статью, но, насколько я вижу, они играют с размерностью$J$и для$d+s-2$и$2-s$он описывает сохраняющийся тензор и калибровочное поле только из-за теории представлений конформной группы (расцепление некоторых нулевых состояний). В любой момент времени в газете$J$имеет некоторую фиксированную размерность и является либо сохраняющимся тензором, калибровочным полем, либо просто конформным полем спина общей размерности$\Delta$.

Что касается предпоследнего, вы правы в том, что калибровочная инвариантность имеет мало общего с конформностью. Ответ зависит от спина и размера. Для$s=0$есть$m^2$для которого скаляр конформен. Для$s=1$и определенные$m^2$поле Максвелла является калибровочным полем, но уравнение Максвелла конформно в$d=4$только. Вне$d=4$калибровочное поле со спином один не является конформным, или конформное поле со спином один не является калибровочным полем. Для$s\geq2$ситуация еще сложнее: в$AdS_4$калибровочные поля конформны, но в пространстве Минковского они неконформны (в терминах калибровочных потенциалов$\phi_{\mu_1...\mu_s}$). Вы можете посмотреть http://arxiv.org/abs/0707.1085

Во-вторых, прежде всего трансверсальность на правильном месте в 5.1. Во-вторых, ваше замешательство (навеянное моим ответом на другой вопрос) состоит в том, что есть два разных класса полей, которые интересуют людей. Первый — это класс обычных частиц, где мы говорим о представлениях алгебры Пуанкаре.$iso(d-1,1)$если мы в$d$-мерное пространство Минковского или$so(d-1,2)$и$so(d,1)$если мы находимся в анти де Ситтере или де Ситтере (там нужна гармония, бесследность, трансверсальность). Конформные поля относятся ко второму классу. Конформный означает, что он должен быть представлением конформной группы$so(d,2)$для Минковского-$d$, Обратите внимание, что$iso(d-1,1)\in so(d,2)$. Конформная группа антиде Ситтер-$d$это также$so(d,2)$. Заметим, что алгебра симметрии AdS-$(d+1)$является в точности конформной группой Минковского-$d$. Поэтому, когда мы говорим о конформных полях, нас интересуют представления$so(d,2)$(подпись может варьироваться в зависимости от проблемы, это некоторая реальная форма$so(d+2)$). Подчеркну, что конформные поля в d-мерности находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными полями в$AdS_{d+1}$, ибо алгебра та же самая, которая лежит в основе соответствия AdS/CFT.

Например, спин-$0$поле в пространстве Минковского подчиняется$\square \phi=0$. Это приводит к неприводимому представлению$iso(d-1,1)$. По стечению обстоятельств то же самое представление оказывается неприводимым представлением большей алгебры,$so(d,2)$, конформная алгебра. Это совпадение. Существует также спин-$0$конформное поле веса$\Delta$, сказать$\phi_\Delta(x)$. Без наложения каких-либо уравнений это неприводимое представление$so(d,2)$. Как представление своей подалгебры$iso(d-1,1)$оно разлагается в интеграл представлений (Фурье) и хорошо приводимо. Есть специальный вес$\Delta=(d-2)/2$для которого$\phi_\Delta(x)$является приводимым, а разделение нулевых состояний достигается за счет$\square \phi=0$(аналог сохранения$J$выше). Обратите внимание, что$J$выше является неприводимым представлением$so(d,2)$но он очень редуцируем под$iso(d-1,1)$. Для специального веса$d+s-2$мы должны наложить условие сохранения, чтобы проецировать нулевые состояния, но опять же сохраняющийся тензор является неприводимым из$so(d,2)$и сокращаемый под$iso(d-1,1)$. Итак, вы запутались в том, что поля конформны, это представления большей алгебры, они более «толстые» и требуют меньше уравнений (даже вообще не требуют) для проецирования на неприводимое.

$S^3$является аналогом Минковского-$3$(компактифицированный и евклидов), то$so(4)$является аналогом$iso(3,1)$и их интересуют нормируемые функции, это сферические гармоники или многочлены, зависящие от координат. Затем они обсуждают маркировку этих представлений, используя$so(4)\sim su(2)\oplus su(2)$и приступим к выполнению некоторых интегралов.