Связь между частицами и полями и спинорное представление группы Пуанкаре

Определение состоит в том, что частица в пространстве Минковского является унитарным неприводимым представлением группы Пуанкаре. Итак, нужно посмотреть, как различные УЧП связаны с классификацией унитарных неприводимых представлений$iso(3,1)$или$iso(d-1,1)$в случае$d$-размеры вместо$4$.

Заметим, что это все пуанкаре-инвариантные ограничения, которые можно наложить на заданное поле без упрощения пространства решений (можно было бы наложить$\partial \psi=0$(градиент), который является инвариантным по Пуанкаре, но слишком сильным, поскольку поле должно быть постоянным).

Теорему нетрудно доказать. Нужно знать, как построить неприводимые представления группы Пуанкаре, см. главу 2 учебника Weinberg's QFT. Затем решают уравнения с помощью стандартного преобразования Фурье и показывают, что пространство решений действительно эквивалентно тому, что называется спин-$m$частица в пространстве Минковского.

В этом нет ничего особенного$4d$в определении спин-$m$поле, так что проще смотреть на произвольное измерение, где, скажем, для бозонов приведенные выше уравнения эквивалентны

$(\square-m^2)\phi_{\mu_1...\mu_m}=0$

$\partial_\nu \phi^{\nu \mu_2...\mu_m}=0$

$\eta_{\nu\rho} \phi^{\nu\rho \mu_3...\mu_m}=0$

$\phi^{\mu_1...\mu_s}$полностью симметрична по всем показателям.

В$4d$можно использовать$so(3,1)\sim sl(2,C)$и последнее алгебраическое ограничение становится тривиальным - неприводимый спин-тензор эквивалентен неприводимому$so(3,1)$-тензор