Связь между импульсом и энергией для ракетных самолетов

Я пытаюсь написать задачу для своих учеников на уроке физики, основанном на алгебре. У нас есть симулятор полета, и у меня есть планер в симуляторе, к которому прикреплена пара ракетных ускорителей. Студенты знают массу планера, тягу ускорителей и время работы ускорителей. Изменение массы ускорителей незначительно по сравнению с общей массой системы планер-ускоритель. Студенты могут управлять планером в симуляторе, запускать ускорители и наблюдать, как самолет набирает высоту и ускоряется. Симулятор может экспортировать данные телеметрии (скорость и высота) во время записи.

Я хочу спросить у студентов, насколько эффективны бустеры. Мы изучаем энергию, и учащиеся могут вычислить общее изменение энергии между началом и концом горения ракеты.

$$\Delta E_{T}=\Delta E_{P} + \Delta E_{K}=mg(h_2 - h_1) + \frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)$$ И если бы они знали, какую работу ускорители совершали над планером, они могли бы вычислить, сколько энергии теряется на сопротивление, вычитая измеренное увеличение энергии из общей работы, проделанной ускорителями. $$W_d = W_{boosters}-\Delta E_T$$ Проблема заключается в том, что уравнение работы является интегральным $$W = \int \textbf{F}\cdot d\textbf{s}$$ А траектория полета планера в этом случае искривляется, когда скорость и высота изменяются одновременно, поэтому единственный способ сделать это точно — интегрировать длину траектории.

Если бы мы могли поддерживать высоту планера постоянной, чтобы он только ускорялся, а не поднимался, изменение полной энергии упростилось бы до изменения кинетической энергии. Учащиеся могут рассчитать, какой импульс ракеты-носители сообщают планеру, используя тягу и время горения.

$$\textbf{F}_T \Delta t=\Delta \textbf{p}=m \Delta \textbf{v}$$ И используйте $\Delta$v для вычисления изменения кинетической энергии, которое можно было бы предсказать в вакууме без трения. Затем, вычислив фактическое изменение кинетической энергии, они могли определить работу сопротивления. $$W_d = \frac{1}{2}m\big[\big((v_1+\Delta v)^2 - v_1^2 \big) - (v_2^2-v_1^2)\big]$$

Точно так же, если бы мы могли поддерживать постоянную скорость планера и заставить его подниматься с этой постоянной скоростью, путь планера был бы прямой линией. Мы могли бы определить его длину с помощью стартовой скорости и времени горения, использовать уравнение работы для определения энергии, добавленной в систему ракетами-носителями, и вычесть измеренное увеличение энергии из-за набора высоты, чтобы определить работу сопротивления.

$$W_d =F_Tv_{1=2}\Delta t -mg\Delta h$$

Но нет простого способа гарантировать, что планер будет поддерживать постоянную скорость или постоянную скорость во время горения, поскольку нет встроенных контроллеров удержания высоты или скорости. Нельзя ожидать, что студенты будут иметь навыки пилотирования, чтобы сделать это самостоятельно. либо, поэтому я надеялся, что они смогут выполнять это упражнение без палки.

Но есть ли способ определить работу ускорителей в общем случае, когда и высота, и скорость могут изменяться без интегрирования? Я что-то упустил здесь? Я не проверял цифры, но подозреваю, что количество энергии, добавляемой ускорителями, отличается в случае удержания высоты и в случае удержания скорости. Ракеты не добавляют системе фиксированное количество энергии, они добавляют фиксированное количество импульса.