Существует ли «ковариантная производная» для конформного преобразования?

I) Здесь мы обсуждаем проблему определения связности на конформном многообразии$M$. Начнем с конформного класса$[g_{\mu\nu}]$глобально$^{1}$определенные показатели

$$\tag{1} g^{\prime}_{\mu\nu}~=~\Omega^2 g_{\mu\nu}$$

задается преобразованиями/перемасштабированием Вейля . При мягком предположении о многообразии$M$(паракомпактность), можно предположить, что существует конформный класс$[A_{\mu}]$глобально определенных ковекторов/одных форм, связанных преобразованиями Вейля как

$$\tag{2} A^{\prime}_{\mu}~=~A_{\mu} + \partial_{\mu}\ln(\Omega^2).$$

В частности, неявно подразумевается, что преобразование Вейля [пары$(g_{\mu\nu},A_{\mu})$представителей] действуют в тандеме/синхронизированы с одной и той же глобально определенной функцией$\Omega$в уравнениях (1) и (2) одновременно.

II) Помимо преобразований Вейля, мы можем действовать (в активной картине) с диффеоморфизмами . Локально на пассивном изображении пара$(g_{\mu\nu},A_{\mu})$преобразуется как ковариантные тензоры

$$\tag{3} g_{\mu\nu}~=~ \frac{\partial x^{\prime \rho}}{\partial x^{\mu}} g^{\prime}_{\rho\sigma}\frac{\partial x^{\prime \sigma}}{\partial x^{\nu}},$$

$$\tag{4} A_{\mu}~=~ \frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}} A^{\prime}_{\nu}.$$

при общих преобразованиях координат

$$\tag{5} x^{\mu} ~\longrightarrow~ x^{\prime \nu}~= ~f^{\nu}(x).$$

III) Затем мы вводим единственную связность Вейля в касательном пространстве без кручения $\nabla$с соответствующими символами Кристоффеля$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$который ковариантно сохраняет метрику в следующем смысле:

$$\tag{6} (\nabla_{\lambda}-A_{\lambda})g_{\mu\nu}~=~0.$$

Связь с Вейлем$\nabla$и его символы Кристоффеля$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$не зависят от пары$(g_{\mu\nu},A_{\mu})$представителей внутри конформного класса$[(g_{\mu\nu},A_{\mu})]$. (Но конструкция зависит, конечно, от конформного класса$[(g_{\mu\nu},A_{\mu})]$.) Другими словами, символы Вейля Кристоффеля инвариантны относительно преобразований Вейля

$$\tag{7} \Gamma^{\prime\lambda}_{\mu\nu}~=~\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}.$$

Пониженные символы Вейля Кристоффеля однозначно задаются формулой

$$\Gamma_{\lambda,\mu\nu}~=~g_{\lambda\rho} \Gamma^{\rho}_{\mu\nu}$$ $$~=~\frac{1}{2}\left((\partial_{\mu}-A_{\mu})g_{\nu\lambda} +(\partial_{\nu}-A_{\nu})g_{\mu\lambda}-(\partial_{\lambda}-A_{\lambda})g_{\mu\nu} \right)$$ $$\tag{8} ~=~\Gamma^{(g)}_{\lambda,\mu\nu}+\frac{1}{2}\left(A_{\mu}g_{\nu\lambda}-A_{\nu}g_{\mu\lambda}+A_{\lambda}g_{\mu\nu} \right),$$

куда$\Gamma^{(g)}_{\lambda,\mu\nu}$обозначают опущенные символы Леви-Чивиты Кристоффеля для представителя$g_{\mu\nu}$. Пониженные символы Вейля Кристоффеля$\Gamma_{\lambda,\mu\nu}$масштаб при преобразованиях Вейля как

$$\tag{9} \Gamma^{\prime}_{\lambda,\mu\nu}~=~\Omega^2\Gamma_{\lambda,\mu\nu}.$$

Соответствующее детерминантное расслоение имеет связность Вейля, заданную формулой

$$\tag{10} \Gamma_{\lambda}~=~\Gamma^{\mu}_{\lambda\mu}~=~(\partial_{\lambda}-A_{\lambda})\ln \sqrt{\det(g_{\mu\nu})}.$$

IV) Давайте теперь определим конформный класс$[\rho]$плотности _ $\rho$весов$(w,h)$, который масштабируется при преобразованиях Вейля как

$$\tag{11} \rho^{\prime}~=~ \Omega^w\rho$$

с весом Вейля$w$, а как плотность

$$\tag{12} \rho^{\prime}~=~\frac{\rho}{J^h}$$

веса$h$при общих преобразованиях координат (5). Здесь

$$\tag{13} J ~:=~\det(\frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\mu}})$$

является якобианом.

Пример: определитель$\det(g_{\mu\nu})$это плотность с$h=2$а также$w=2d$, куда$d$размер коллектора$M$.

V) Концепция (конформных классов) плотностей$\rho$весов$(w,h)$можно обобщить на (конформные классы) тензорных плотностей $T^{\mu_1\ldots\mu_m}_{\nu_1\ldots\nu_n}$весов$(w,h)$прямым образом. Например, векторная плотность весов$(w,h)$трансформируется как

$$\tag{14} \xi^{\prime \mu}~=~ \frac{1}{J^h}\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\nu}} \xi^{\nu}$$

при общих преобразованиях координат (5) и масштабах как

$$\tag{15} \xi^{\prime \mu}~=~\Omega^w \xi^{\mu}$$

при преобразованиях Вейля. Точно так же ковекторная плотность весов$(w,h)$трансформируется как

$$\tag{16} \eta^{\prime}_{\mu}~=~ \frac{1}{J^h}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime \mu}} \eta_{\nu}$$

при общих преобразованиях координат (5) и масштабах как

$$\tag{17} \eta^{\prime}_{\mu}~=~\Omega^w \eta_{\mu}$$

при преобразованиях Вейля. И так далее для произвольных тензорных плотностей$T^{\mu_1\ldots\mu_m}_{\nu_1\ldots\nu_n}$.

Пример: Метрика$g_{\mu\nu}$представляет собой тензорную плотность с$h=0$а также$w=2$. Единая форма$A_{\mu}$не является тензорной плотностью, ср. экв. (2).

VI) Наконец, можно обсудить определение ковариантно сохраняющихся (конформных классов) тензорных плотностей$T^{\mu_1\ldots\mu_m}_{\nu_1\ldots\nu_n}$. Плотность$\rho$весов$(w,h)$ковариантно сохраняется, если

$$\tag{18} (\nabla_{\lambda}-\frac{w}{2}A_{\lambda})\rho~\equiv~ (\partial_{\lambda}-h \Gamma_{\lambda}-\frac{w}{2}A_{\lambda})\rho~=~0.$$

Векторная плотность весов$(w,h)$ковариантно сохраняется, если

$$\tag{19} (\nabla_{\lambda}-\frac{w}{2}A_{\lambda})\xi^{\mu}~\equiv~ (\partial_{\lambda}-h \Gamma_{\lambda}-\frac{w}{2}A_{\lambda})\xi^{\mu}+\Gamma_{\lambda\nu}^{\mu}\xi^{\nu} ~=~0.$$

Ковекторная плотность весов$(w,h)$ковариантно сохраняется, если

$$\tag{20}(\nabla_{\lambda}-\frac{w}{2}A_{\lambda})\eta_{\mu}~\equiv~ (\partial_{\lambda}-h \Gamma_{\lambda}-\frac{w}{2}A_{\lambda})\eta_{\mu}-\Gamma_{\lambda\mu}^{\nu}\eta_{\nu} ~=~0.$$

В частности, если$T^{\mu_1\ldots\mu_m}_{\nu_1\ldots\nu_n}$есть тензорная плотность весов$(w,h)$, то ковариантная производная$(\nabla_{\lambda}-\frac{w}{2}A_{\lambda})T^{\mu_1\ldots\mu_m}_{\nu_1\ldots\nu_n}$также является тензорной плотностью весов$(w,h)$.

--

$^{1}$Мы игнорируем для простоты понятие локально определенных конформных классов.