Связь между скобками Пуассона и симплектической формой

Хосе и Салетан говорят, что матричные элементы скобок Пуассона (PB) в д , п базис такой же, как у обратной симплектической матрицы Ом − 1 , тогда как матричные элементы симплектической формы равны матричным элементам симплектической матрицы Ом .

У меня нет проблем с последним утверждением, но я согласен с первым. Это потому, что ПБ вводятся путем записи уравнения Гамильтона в виде

ξ Дж ˙ "=" ю Дж к ∂ ЧАС ∂ ξ к ,

куда ю Дж к являются элементами Ом , а затем взяв производную Ли динамической переменной ф вдоль динамического векторного поля, что дает

л Δ ф "=" ( ∂ Дж ф ) ю Дж к ( ∂ к ЧАС ) + ∂ т ф .

Позднее сказано, что термин, содержащий ю Дж к это ПБ { ф , ЧАС } , с которым у меня нет проблем, так как он дает правильное выражение для PB канонических координат, когда ю Дж к являются элементами симплектической матрицы Ом , т. е. таким, каким он был впервые введен через уравнения Гамильтона. Однако, как я упоминал, в более позднем рассмотрении они говорят, что ю Дж к ПБ являются элементами Ом − 1 , что меня смутило, тем более, что в книге несколько раз используется ю Дж к как компоненты Ом , и Ом Дж к как компоненты Ом − 1 , в различных производных. Однако я не верю утверждению в книге о том, что элементы ПБ являются элементами Ом − 1 неверно, так как это используется при выводе сохранения симплектической формы при канонических преобразованиях. Поэтому я думаю, что где-то есть заблуждение от моего имени, которое я не знаю, где оно находится, и я был бы благодарен, если бы кто-нибудь мог пролить свет на это.

Ответы (4)

Кажется, что ОП просто хочет проследить соглашение о знаках в конкретной книге (ссылка [JS]). Чтобы ответить на этот вопрос наиболее убедительно, мы должны задокументировать, где мы что читали.

  • В случае канонических координат (также известных как координаты Дарбу) [JS] использует соглашение, согласно которому позиции д я упорядочены до импульсов п я ,

    ξ я   "="   ( д 1 , … , д н , п 1 , … п н ) ,
    ср. например 215 в [JS].

  • Поверх стр. 230 в [JS] написано:

    Элементы ю Дж к симплектической формы и ю Дж к скобки Пуассона [...] являются матричными элементами Ом и Ом − 1 , соответственно.

Поскольку мы следуем только соглашению о знаках, давайте для простоты ограничимся каноническими координатами/координатами Дарбу. Затем Ом 2 "=" − 1 2 н , и, следовательно, разница между Ом и Ом − 1 сводится к знаку.

  • На стр. 216 экв. (5.42b) и (5.43) читать

    (5.42б) ю ℓ Дж ξ ˙ Дж   "="   ∂ ℓ ЧАС ,
    (5.43) Ом   "="   [ 0 н − я н я н 0 н ] .

  • На стр. 218 экв. (5.47) определяет скобку Пуассона

    (5.47) { ф , грамм }   ≡   ( ∂ Дж ф ) ю Дж к ( ∂ к грамм )   ≡   ∂ ф ∂ д α ∂ грамм ∂ п α − ∂ ф ∂ п α ∂ грамм ∂ д α ,
    приводящее к уравнению движения Гамильтона (5.50),
    (5.50) ξ ˙ Дж   "="   { ξ Дж , ЧАС } .

Мы заключаем, что [JS] имеет соглашение о том, что

Ом − 1   "="   [ 0 н я н − я н 0 н ] .

Все идет нормально.

  • На стр.228 написано

(5,75) ю   "="   г д α ∧ г п α .

Сравнивая с Ом и ю я Дж , мы заключаем, что [JS] имеет соглашение о том, что

ю   "="   1 2 ю я Дж г ξ Дж ∧ г ξ я   "="   − 1 2 ю я Дж г ξ я ∧ г ξ Дж .

Обратите внимание на противоположный порядок я и Дж ! Вероятно, это тот момент, когда OP и многие другие вместо этого хотели бы определить его противоположно как

(Напротив JS) ю   "="   1 2 ю я Дж г ξ я ∧ г ξ Дж ,

и

(Напротив JS) ю   "="   г п α ∧ г д α .

Использованная литература:

[JS] Хосе и Салетан, Классическая динамика: современный подход, 1998.

О, так они сделали обмен индексами. Это очень неправильное соглашение --- оно противоречит тому, что вы сделали бы с метрическим многообразием. Они должны были определить один из двух со знаком минус. ОП был прав, что запутался. Спасибо за отслеживание, +1.
Благодарю за разъяснение. Я до сих пор не понимаю, почему они выбрали такой запутанный способ представить это, но, по крайней мере, теперь я понимаю, что произошло. Однако я должен сказать, что в моей версии книги (тоже 1998 г.) матрица в уравнении. 5,43 для Ом − 1 нет Ом , и в результате ваша матрица после "мы заключаем..." должна быть Ом . Это не меняет ничего из того, что вы указали, но может создать путаницу для кого-то еще.
Теперь я снова проверил свою версию [JS] 1998 года. Его экв. (5.43) для Ом нет Ом − 1 .

Давайте посмотрим: Симплектическая форма на многообразии п (фазовое пространство) является невырожденной замкнутой двумерной формой ю .

Это дает вам для каждой функции ф : п → р векторное поле ξ ф определяется

я ξ ф ю "=" − г ф
,

куда я обозначает интерьерный продукт .

Тогда для двух функций ф , грамм : п → р скобка Пуассона

{ ф , грамм } "=" ξ ф грамм "=" ю ( ξ ф , ξ грамм ) "=" − { грамм , ф }

Теперь в местных координатах ξ ф "=" ξ ф я ∂ я , так что вы получаете

я ξ ф ю ( ∂ Дж ) "=" ю ( ξ ф я ∂ я , ∂ Дж ) "=" ξ ф я ю ( ∂ я , ∂ Дж ) "=" ξ ф я ю я Дж "=" − г ф ( ∂ Дж ) "=" − ∂ Дж ф

С ю обратим это значит ξ ф я "=" − ю я Дж ∂ Дж ф , следовательно

{ ф , грамм } "=" ю я Дж ∂ я ф ∂ Дж грамм

Я не вижу, как вы ответили на путаницу, раскрытую в моем посте. Я знаю, что матрицы, представляющие ПБ и симплектическую форму, обратны друг другу, проблема заключается в их представлении, т. Е. В представлении (q, p) w^{ij} должны быть матричными элементами симплектической матрицы, поэтому мы получаем правильное выражение для PB (если порядок \xi равен q1,q2,p1,p2, например). Принимая во внимание, что если я использую w_(ij) в качестве матричных элементов, обратных омеге, чтобы получить симплектическую форму, я получаю (опять же в представлении q, p), w = - dq ^ dp вместо w = dq ^ dp.

У меня нет Хосе и Салетана, но см. теорему 18.1.3, в частности (18.6), в моей книге « Классическая и квантовая механика через алгебры Ли».

Вопрос здесь в повышении и понижении индексов. Форма _ ю я Дж с более низкими индексами не совпадает с двухтензорным ю я Дж , хотя с плоской метрикой (как в ваших примерах) они одинаковы (поскольку повышение и понижение индекса не имеет значения). Но есть проблема со знаком — два тензора антисимметричны , и вы можете определить повышение индекса, чтобы поменять местами позицию индекса. В этом случае вы получаете дополнительный знак минус.

Вопрос важен, потому что симплектическая матрица имеет один нижний и один верхний индекс и возводится в квадрат до -1:

ю Дж я ю к Дж "=" − дельта к я

(при условии отсутствия определения свопа). Затем опускание и подъем с метрикой,

ю я Дж "=" грамм Дж к ю к я

ю я Дж "=" грамм я к ю я к

так что, если вы умножите записи как матрицы ,

ю я Дж ю Дж к "=" ю к я грамм к Дж грамм Дж л ю к л "=" − дельта к я

поскольку g обратны друг другу, поэтому вы получаете отмену в середине. В результате элементы верхнего индекса ю — обратная матрица (с точностью до знака) нижнего индекса ю , и это то, что авторы пытаются сказать.

Они либо небрежно относятся к знаку, либо имеют соглашение о переворачивании индексов, которое исправляет это, я не знаю. Но знак на обратном — причина вашего замешательства. Я бы не стал использовать их терминологию --- я бы сказал, что верхний индекс ю имеет записи, которые являются отрицательной инверсией нижнего индекса ю , но они, вероятно, подстраивают любые знаки, используя свой опыт и интуицию, так что формулы в конечном итоге оказываются правильными.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Qmechanic нашел ссылку

Это соглашение о обмене. Они переворачивают индексы для тензора по сравнению с формой, поглощая знак минус. Это не большое соглашение, но это то, что они делают. Спасибо Qmechanic за понимание.

Комментарий к ответу (v1): Понятия симплектической 2-формы ю я Дж и пуассоновское бивекторное поле ю я Дж можно (и нужно) определить, не полагаясь на существование произвольного выбора метрического тензорного поля г я Дж .
Связь между скобками Пуассона и симплектической формой
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v