Что представляют собой уравнения Гамильтона относительно нестандартной симплектической формы?

1. В более общем случае, пусть задано многообразие Пуассона $(M,\pi)$, где

   $$\pi ~=~ \frac{1}{2} \pi^{IJ} \frac{\partial}{\partial z^I} \wedge \frac{\partial}{\partial z^J}$$ является бивектором Пуассона, и $$\{ f, g\}_{PB}~=~\frac{\partial f}{\partial z^J}\pi^{IJ}\frac{\partial g}{\partial z^J}$$ — соответствующая скобка Пуассона. Пусть гамильтониан$H$быть глобально определенной функцией на$M$. Тогда уравнения Гамильтона читаются $$\dot{z}^{I}~=~\{ z^I, H\}_{PB},$$ т.е. эволюция во времени определяется (минус) гамильтоновым векторным полем $$X_H~=~\{H,\cdot\}_{PB}.$$

2. Если пуассоновская структура обратима, то$M$является симплектическим многообразием с симплектической 2-формой

   $$\omega ~=~\frac{1}{2} \omega_{IJ}~ \mathrm{d}z^I \wedge \mathrm{d}z^J,$$ где$\omega_{IJ}$обратная матрица: $$\pi^{IJ}\omega_{JK}~=~\delta^I_K.$$

3. В канонических координатах/ координатах Дарбу

   $$(z^1, \ldots, z^{2n})~=~(q^1, \ldots, q^n,p_1,\ldots, p_n) ,$$ приведенная выше конструкция сводится к стандартному бивектору Пуассона $$\pi~=~\frac{\partial}{\partial q^i} \wedge \frac{\partial}{\partial p_i},$$ и стандартная симплектическая 2-форма $$\omega ~=~ \mathrm{d}p_i \wedge \mathrm{d}q^i.$$

Гамильтониан$H:M\rightarrow \mathbb{R}$определяет векторное поле$X_H$через уравнение