Симплектическая структура и изоморфизмы

В своей книге «Математические методы классической механики » В. И. Арнольд пишет

К каждому вектору$\xi$, касательное к симплектическому многообразию$(M^{2n},\omega^2)$в точку$\mathbf{x}$, мы связываем 1-форму$\omega^1_\xi$на$TM_\mathbf{x}$по формуле

$$\omega^1_\xi(\boldsymbol{\eta})=\omega^2(\boldsymbol{\eta},\xi)\quad\forall\boldsymbol{\eta}\in TM_\mathbf{x}$$

я вижу как$\omega^2$обеспечивает изоморфизм$\xi\rightarrow \omega^1_\xi$. Но тогда у Арнольда есть пример

В$\mathbb{R}^{2n}=\{(\mathbf{p},\mathbf{q})\}$мы будем отождествлять векторы и 1-формы, используя евклидову структуру$(\mathbf{x},\mathbf{x})=\mathbf{p}^2+\mathbf{q}^2$. Тогда переписка$\xi\rightarrow\omega^1_\xi$определяет преобразование$\mathbb{R}^{2n}\rightarrow \mathbb{R}^{2n}$.

Я предполагаю, что под «евклидовой структурой» он имеет в виду евклидову метрику. Но я не понимаю, как этот изоморфизм индуцирует преобразование$\mathbb{R}^{2n}\rightarrow \mathbb{R}^{2n}$или, тем более, как определить матрицу этого преобразования.

И помощь будет принята с благодарностью.