Когда автономная система может быть написана с использованием гамильтониана?

Question

Когда автономная система может быть написана с использованием гамильтониана?

диджей-биндер

Если у меня есть автономная серия дифференциальных уравнений

\begin{matrix} (1) & \frac{д {Икс}_{я}}{д т} "=" А_{я} ({Икс}_{1}, . . ., {Икс}_{н}) \end{matrix}

$\tag{1} \frac{dx_i}{dt} ~=~ A_i(x_1,...,x_n)$ с условием, что

\begin{matrix} (2) & \sum_{я "=" 1}^{н} \frac{\partial А_{я}}{\partial {Икс}_{я}} "=" 0 \end{matrix}

$\tag{2} \sum_{i=1}^n\frac{\partial A_i}{\partial x_i}~=~0$ во всех областях фазового пространства, можно ли это записать в виде гамильтоновой системы в терминах некоторых обобщенных координат положения и импульса?

Qмеханик

Комментарий к вопросу (v1): Обратите внимание, что хотя ОДУ (1) ковариантно относительно преобразований координат, условие бездивергентности (2) нет, если мы не вводим (и не определяем выбор) форму объема.

Ответы (1)

Когда автономная система может быть написана с использованием гамильтониана?

Комментарий к вопросу (v1): Обратите внимание, что хотя ОДУ (1) ковариантно относительно преобразований координат, условие бездивергентности (2) нет, если мы не вводим (и не определяем выбор) форму объема.

Qмеханик · Answer 1

Пусть дано $n$ -мерное многообразие $M$ с гладким векторным полем $X\in \Gamma(TM)$ .
Если $(x^1, \ldots, x^n)$ некоторые локальные координаты на $M$ , то векторное поле принимает вид
$\begin{matrix} (А) & Икс "=" {Икс}^{я} (Икс) \frac{\partial}{\partial {Икс}^{я}}, \end{matrix}$ $\tag{A} X~=~X^i(x)\frac{\partial}{\partial x^i},$ и можно изучать автономное ОДУ первого порядка $\begin{matrix} (Б) & \frac{д {Икс}^{я} (т)}{д т} "=" {Икс}^{я} (Икс (т)) . \end{matrix}$ $\tag{B} \frac{dx^i(t)}{dt}~=~ X^i(x(t)).$ Заметим, что ОДУ (B) ковариантно преобразуется при замене координат.
Если $X$ не исчезает в точке $p\in M$ , то можно выбрать локальную координатную окрестность $U\subseteq M$ из $p$ , с местными координатами $(y^1, \ldots, y^n)$ , так что
$\begin{matrix} (С) & Икс "=" \frac{\partial}{\partial у^{1}} . \end{matrix}$ $\tag{C} X~=~\frac{\partial}{\partial y^1}.$ Эту процедуру иногда называют стратификацией или выпрямлением векторного поля. Это частный случай теоремы Фробениуса .
Затем ОДА (B) становится
$\begin{matrix} (Д) & \frac{д у^{я}}{д т} "=" {дельта}_{1}^{я} \end{matrix}$ $\tag{D} \frac{dy^i}{dt}~=~ \delta^i_1$ в локальной координатной окрестности $U\subseteq M$ .
Если выбрать скобку Пуассона очевидным образом, т. е.
$\begin{matrix} (Э) & {у^{я}, у^{2}}_{п Б} "=" {дельта}_{1}^{я}, и т. д., \end{matrix}$ $\tag{E}\{y^i,y^2\}_{PB}~=~\delta^i_1,\qquad \text{etc},$ то можно привести ОДУ (D) к гамильтоновой форме $\begin{matrix} (Ф) & \frac{д у^{я}}{д т} "=" {у^{я}, у^{2}}_{п Б} \end{matrix}$ $\tag{F} \frac{dy^i}{dt}~=~ \{ y^i, y^2\}_{PB}$ в локальной координатной окрестности $U\subseteq M$ .
Если размер $n$ четно, то скобку Пуассона (E) можно выбрать невырожденной.
Вопрос о существовании глобальной гамильтоновой формулировки гораздо более тонкий, даже для $n=2$ . См. также, например, этот и связанный с ним пост Phys.SE.

Какие условия потребуются для существования глобальной гамильтоновой формулировки? Я так понимаю, что аналитичности A_i(x) будет недостаточно?
Аналитичности векторного поля недостаточно, ср. например, контрпример 6 в моем ответе Phys.SE здесь .
Связанный с этим вопрос о том, существует ли сохраняющаяся функция энергии (а не полная формулировка Гамильтона), см. в этой публикации Phys.SE.

Когда автономная система может быть написана с использованием гамильтониана?

диджей-биндер

Qмеханик

Ответы (1)

Qмеханик

диджей-биндер

Qмеханик

Qмеханик

Интуиция о Momentum Maps

Действие сопряженного импульса на TMTMTM и явная форма

Импульс является котангенсным вектором?

Симплектическая структура и изоморфизмы

Интересная гамильтонова система [дубликат]

Что представляют собой уравнения Гамильтона относительно нестандартной симплектической формы?

Связь между скобками Пуассона и симплектической формой

Какова физическая интуиция для симплектических структур?

Почему на цилиндре определено фазовое пространство простого маятника, а не T2T2\mathbb{T}^{2}?

Вопрос о траекториях частиц в формализме симплектического многообразия