Сюрреалистичные числа и «зигзагообразные» формы [закрыто]

Этот вопрос был переформулирован.

  1. Есть ли эксперимент, который может отличить математические модели физического пространства, основанные на реальных числах, от моделей, основанных на других типах чисел, например, сюрреалистических числах ? Если он существует, был ли он выполнен и каковы результаты? В следующей статье об arXiv приводятся некоторые физические следствия использования сюрреалистических чисел, но ни одно из них, похоже, не может быть проверено экспериментально: Некоторые математические и физические замечания о сюрреалистических числах . Подобные вопросы задавались на StackExchange с другой формулировкой: зачем моделировать пространство действительными числами? , Обоснование использования действительных чисел для измерения длины
  2. Когда в физике рассматриваются поверхности (в математическом смысле), они обычно предполагаются гладкими. Например, поверхность с одинаковым электростатическим потенциалом вокруг точечной частицы считается гладкой сферой. Если мы вычислим площадь поверхности этой сферы, мы получим известный результат 4 π р 2 . Но если поверхность действительно представляет собой «зигзаг» (примеры «зигзага» приведены здесь: https://www.youtube.com/watch?v=D2xYjiL8yyE ), она может иметь совсем другую площадь поверхности. Даже если для данного конкретного примера идентичная потенциальная сфера является реальной сферой, а не «зигзагом», в физике существует множество других примеров математических поверхностей (например, горизонты событий, поверхности идентичной вероятности в квантовой механике и т. д.). Есть ли эксперимент, который может отличить гладкие поверхности от поверхностей, которые являются «зигзагами»? Здесь был задан немного похожий, но другой вопрос: является ли рассмотрение пространства-времени гладким многообразием только предположением?

Только для справки, исходный вопрос приведен ниже:

В физике обычно утверждается, что конкретная часть математики не должна применяться, если нет экспериментального подтверждения. В связи с этим у меня два следующих вопроса:

  1. Что является экспериментальным подтверждением того, что физическое пространство основано на реальных числах, а не, например, на сюрреалистических числах ?

  2. Какой эксперимент подтвердил, что все формы, рассматриваемые в физике, не являются «зигзагообразными» формами (под «зигзагообразной» формой я подразумеваю фигуру, окруженную путем, подобным показанным здесь: https://www.youtube . com/watch?v=D2xYjiL8yyE ). Есть ли пример формы, которая оказалась «зигзагообразной»? Разве материя не имеет в своей основе «зигзагообразную» форму из-за атомов? По этой причине имеет ли вообще смысл говорить о площадях поверхности в физике? Я думаю, что некоторые физические расчеты основаны на понятии площади поверхности.

Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что реальность основана на рациональных числах, а не на реальных числах.
На каком основании вы предполагаете связь между этими «зигзагообразными» формами и атомами?
@safesphere: Не могли бы вы рассказать подробнее, пожалуйста?
@StephenG: Например, если мы предполагаем, что атомы, например, имеют приблизительно шарообразную форму (я знаю, что это неверно по многим причинам (включая QM), но это не имеет значения, если они, например, не являются прямоугольными и т. д.), нельзя упаковать шары для создания ровной поверхности. Итак, если вы вычисляете площадь поверхности тела, это не площадь поверхности плоской фигуры, а немного больше. В реальной жизни разница еще больше из-за сложной формы молекул, дефектов и многих других причин.
@StephenG Я понимаю, что для многих приложений площадей поверхности это не имеет никакого значения (потому что нас действительно интересует не площадь поверхности, а, например, поток), но, возможно, есть некоторые, для которых это имеет значение. К сожалению, я не могу привести какие-либо примеры для этого в данный момент.
@safesphere Я заинтригован и хотел бы получить больше информации об этом смелом предположении. Кажется, это противоречит тому, что прямоугольный треугольник с единичными сторонами имеет гипотенузу. 2 . Если я нарисую его на листе бумаги, он покажется вполне реальным.
@Sputnik Вы не можете измерить реальный треугольник абстрактным символом, например 2 . На самом деле вы измеряете с помощью линейки (например, лазерной), которая дает результат в записи с некоторой основой, например, двоичной или десятичной. Когда вы выражаете свою гипотенузу в десятичной системе счисления, это рациональное число. Когда вы программируете что-либо на компьютере, вы используете рациональные числа. В физической реальности нет действительных чисел, есть только рациональные числа. 1,414213562373095 — рациональное число, и вы никогда не сможете так точно измерить свой треугольник.
"экспериментальные данные свидетельствуют о том, что реальность основана на рациональных числах" Ерунда. То, что мы фиксируем конечную точность измерений ограниченными инструментами, ничего не говорит о природе реальности. В частности, записывая измерение 287,35 г не говорит мне, что образец имел точно такую ​​же массу, а скорее то, что инструментальное определение массы образца было лучше представлено этой цифрой, чем любой другой, который я мог бы записать. На цифровых весах это может иметь любое значение между 287,345 и 287,355 г .
Это может представлять интерес: arxiv.org/abs/1803.06824
Связанный с MO.SE вопрос: mathoverflow.net/q/63320/13917
Я чувствую, что этот вопрос, как до, так и после переформулировки, основан на ложной предпосылке. Есть много намеков на то, что картина пространства-времени с дифференцируемыми многообразиями в какой-то момент нарушается, возможно, в масштабе Планка. Если он не работает в любом масштабе, то физика с реальными или нереальными числами — это всего лишь приближение, и выбор одного над другим — это вопрос удобства/знакомства, а не правильности.
Вопрос в том, используют ли квантовые теории (например, квантовая теория поля или струнные теории) действительные числа, гладкие поверхности и т. д. Даже если пространство-время не является дифференцируемым многообразием, являются ли, например, струны, петли или что-либо еще, основными объектами теории моделируются с использованием реальных (а не, например, сюрреалистических) и/или гладких линий (а не, например, зигзагов)?

Ответы (2)

Я не видел никого, кто утверждал бы, что вы не должны использовать определенный вид математики, если для этого нет экспериментальных причин - в конце концов, общая теория относительности (использующая риманово пространство-время) была введена с помощью мысленных экспериментов, а затем экспериментально обнаружено, что она описывает реальность. Вместо этого люди обычно настаивают на том, что вы не должны вводить более сложную математику, чем это необходимо для описания того, что мы можем наблюдать (или думать, что можем наблюдать в будущем эксперименте). Использование сюрреалистических чисел в физике делает вещи слишком сложными. По сути это бритва Оккама.

Обратите внимание, что «простой» иногда оспаривается. Действительно ли физика работает с непрерывными действительными числами (или комплексными) или с очевидно более простыми исчисляемыми натуральными или рациональными числами? Может быть, только вычислимые числа? Здесь действительно важно, действительно ли этот выбор теории имеет значение, которое можно было бы заметить эмпирически, и приводят ли они к более полезным теориям. Квантовая механика «выиграла», показав, что квантование дает новые свойства, которых не было у непрерывных спектров, и эти свойства оказались измеримыми.

Да, мои аргументы должны быть основаны на бритве Оккама — математика не должна применяться, если она (1) не делает правильных эмпирических предсказаний и (2) не упрощает теорию. Я не уверен, что введение, например, сюрреалистических чисел или предположение о «зигзагообразных» линиях может создать какие-либо проверяемые эмпирические прогнозы, которые отличаются от обычных определений, но я нашел следующую статью, упомянутую в обновлении вопроса.

Физическая теория грубо состоит из двух объектов: теоретических терминов и терминов наблюдений [1] . Теоретические термины состоят из всех объектов, которые не могут быть измерены напрямую, таких как волновая функция, энергия и т. д., в то время как наблюдательные термины — это те, которые могут быть измерены напрямую, например, длина.

Насколько я могу судить, наблюдательные термины всегда являются действительными числами, и даже тогда всегда рациональными терминами. На самом деле я не могу измерить ни бесконечное количество на каком-то приборе, ни количество с бесконечной точностью.

С другой стороны, теоретические термины не имеют ограничений в отношении того, из чего они состоят. И действительно, я видел некоторые попытки использовать различные из них, такие как квантовая теория поля, построенная на гиперреальных числах (хотя и не на сюрреалистических числах, я не уверен, что в этом есть большая польза). Важная часть заключается в том, что существуют правила соответствия (отображение теоретических терминов в наблюдаемые термины), поэтому, если у вас есть теоретические термины, которые не являются реальными числами, они правильно отображаются в реальные наблюдаемые.

Спасибо за ваш ответ. Я думаю, что непосредственно измеряемые величины — это даже не действительные числа, а на самом деле только рациональные числа. Но теория может сделать действительные числа или, например, сюрреалистические числа необходимыми на каком-то более глубоком уровне по разным причинам. Например, если мы предполагаем только рациональные числа, тогда пространственная симметрия может нарушиться, мы не сможем применять исчисление и т. д. Интересно, есть ли какие-то более глубокие причины, например, для сюрреалистичных чисел, но это отдельный вопрос.
Это никогда не нужно . Для теории всегда существует способ избавиться от теоретических терминов (реаксиоматизация Крейга). Возможно, более практично использовать сюрреалистические числа, но, насколько мне известно, я не вижу для них практического применения, которое нельзя было бы реализовать с помощью более простой системы.
Относить измерения к категории рациональных чисел — значит совершать ошибку, игнорируя присущую им неопределенность. Я понимаю, что «мы записываем конечную десятичную дробь, так что это рационально». Но на самом деле мы должны понимать каждое измерение как имеющее неопределенность: это не простые числа, как бы мы с ними ни обращались на уроках, и когда вы начинаете философствовать об их значении, вы должны помнить об этом.
@dmckee Я думаю, ясно, что можно наблюдать результаты измерений с использованием некоторых измерительных устройств. Все такие результаты в лучшем случае рациональны. На мой взгляд, теория измерений и погрешностей также является частью модели.
@dmckee Взяв в качестве примера простую геометрию, полностью и правильно изложенная физическая теория физической геометрии (не чисто математическая) скажет нам, например, что если мы нарисуем линию (1,00 ± 0,05) см (измеренную стандартной линейкой) и построим окружность с этой линией в качестве радиуса (используя достаточно точный инструмент), а затем измерим длину окружности, результат будет (6,3±0,4) см (измеряется опизометром достаточной точности).
@dmckee Другими словами, входные данные являются рациональными с некоторой неопределенностью. Теория дает некоторые результаты на основе входных данных. Другая часть теории (теория распространения неопределенности) говорит нам, насколько точны эти предсказания. Затем мы измеряем результат, сравниваем с прогнозами и проверяем, находится ли он в пределах диапазона неопределенности.
Кроме того, окружность круга не может быть известна без предположения о геометрии пространства.
@MateuszGrotek Опять же, просто потому, что записанное измерение записано в терминах рациональных чисел, это не означает (а) что измерение является рациональным (это распределение) или (б) что основная физическая величина является рациональной (вы не знаете какое значение в диапазоне, допускаемом нашим знанием, является правильным, а среди разрешенных находятся иррациональные (действительно, их больше, чем рациональных).
@dmckee Я думаю, что вы используете слово «измерение» в несколько ином значении, чем то, которое использую я. Они оба в порядке, но нам нужно договориться об условиях, если мы хотим сначала обсудить их. Для меня измерение — это значение, показанное прибором, вместе с точностью прибора. Мы оба согласны с тем, что это только и может быть рациональным.
@dmckee Это означает, что исходные данные для расчетов в теории также рациональны. «Основная физическая величина», с моей точки зрения, кажется теоретическим термином, а не наблюдательным термином. Я полностью согласен с тем, что иррациональное есть в этом диапазоне, но и сюрреалистическое тоже есть.
@Slereah На самом деле теория, которую я имел в виду, предполагает, что пространство близко к евклидову в мелком масштабе, поэтому это измерение может опровергнуть теорию, если окажется, что окружность не (6,3 ± 0,4) см, а что-то другое. Этот пример с ящиком для игрушек хорош и по этой причине.
@Slereah Я еще не ответил на ваш первоначальный комментарий, поэтому, пожалуйста, позвольте мне сделать это сейчас. Вы правы в том, что теоретические термины не нужны, и их можно убрать, например, путем реаксиоматизации Крейга. Но есть и другая проблема. Если мы модифицируем теорию, изменив некоторые ее части, например, реальные числа на сюрреалистические, может оказаться, что новая теория дает некоторые другие результаты для наблюдаемых.
@Slereah Конечно, вы можете удалить теоретические термины из обеих соответствующих теорий (с реальными и с сюрреалистическими), но это не означает, что полученные теории будут одинаковыми. Вот почему имеет смысл рассмотреть, какое влияние сюрреалистические явления оказывают на наблюдения, и это на самом деле часть моего первоначального вопроса, потому что я спросил, есть ли экспериментальное подтверждение. Наверное, я должен задать другой вопрос. Есть ли эксперимент, который может отличить теорию с реалами от теории с сюрреалистами? Если нет, то ваши рассуждения верны и это не имеет значения. Но, может быть, есть.
Сюрреалистичные числа и «зигзагообразные» формы [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v