t1t1t_1, t2t2t_2, t3t3t_3 Эрмитовы образующие SU(2)SU(2)SU(2)

Как отмечено в комментариях, эти матрицы являются основой для присоединенного представления$SU(2)$(изображение которого, как вы, вероятно, знаете,$SO(3)$), но перемаркированный преобразованием подобия$S$где:

$$S = \left( \begin{array}{ccc} -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{i}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right)$$

который работает следующим образом. Я масштабирую ваши три t так, чтобы они были косоэрмитовыми (так что они являются основой для алгебры Ли).$\mathfrak{su}(2) = \mathfrak{so}(3)$), и я также переупорядочиваю их так, чтобы,$(t_1, t_2, t_3)$является правым базисом (в том порядке, в котором они у вас есть, они не являются):

$$t_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & i & 0 \\ i & 0 & i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix},\, t_2 = \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \end{pmatrix},\, t_3=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Теперь у нас есть стандартные базисные векторы в алгебре Ли, на которые действует присоединенное представление:

$$s_1 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{array} \right),\, s_2 = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right),\, s_3=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$

тогда приведенное выше преобразование подобия делает свое дело:$t_j = S s_j S^\dagger$.

На самом деле они не аналогичны матрицам Паули (как вы предполагаете), хотя все вышеперечисленные формы являются основой для точного представления алгебры Ли.$\mathfrak{su}(2) = \mathfrak{so}(3)$. Напомним, что матрица Паули (умноженная на$i$) Алгебра Ли возводится в степень до$SU(2)$, тогда как все базисы, обсуждаемые здесь, возводятся в степень к$SO(3)$, первый из которых является двойной обложкой второго .

Последний способ думать об этой проблеме (хорошо, чтобы держать в рукаве, когда вы иногда сталкиваетесь с непривычными, странными и дурацкими представлениями), даже если вы не можете сразу увидеть, что есть преобразование подобия, это через Универсальную Обертывающую Алгебру (см. страницу Википедии с этим названием) . После того, как вы проверили (что в настоящее время вы можете сделать за несколько минут с помощью программного обеспечения, такого как Mathematica), что коммутационные соотношения, выполняемые данными матрицами, действительно соответствуют$\mathfrak{su}(2) = \mathfrak{so}(3)$Алгебра Ли, вы знаете, что матричное представление, которое вы получили, должно быть изоморфно некоторому подмножеству универсальной обертывающей алгебры, а именно, самой свободной из возможных алгебр, связанных коммутационными соотношениями, определяющими скобку Ли. в$\mathfrak{su}(2) = \mathfrak{so}(3)$В этом случае нетрудно показать (хотя в данный момент я не могу приложить руку к доказательству), что каждый член$H$такой максимально свободной алгебры в этом случае выполняется соотношение

$$H\,(H + r^2 I) = 0\quad\quad\quad(1)$$

где$I$является единичным элементом кольца и$r^2$некоторое положительное вещественное число, но только в некоторых матричных представлениях соответствующей алгебры Ли у нас есть более сильное условие:

$$H + r^2 I = 0\quad\quad\quad(2)$$

Таким образом, вы можете поместить свои матрицы в Mathematica и быстро проверить, действительно ли (1) выполнено, а (2) нет. Так что это действительно универсальная обертывающая алгебра, т. е .$3\times3$вещественная матричная алгебра$\mathfrak{so}(3)$а не более ограниченный из$2\times2$матричная алгебра$\mathfrak{su}(2)$. Поэтому должно быть какое-то линейное преобразование между данной алгеброй и стандартной$3\times3$вещественная матричная алгебра, сохраняющая скобки Ли. Легко показать, что это должно быть преобразование подобия.