текущий оператор в модели Хаббарда

Очень простой вывод оператора тока на решетке состоит в интерпретации уравнения движения Гейзенберга как уравнения неразрывности.

Если вы заинтересованы в текущем количестве$\hat Q_i$(локальный оператор, определенный для каждого сайта$i$, который может быть, например, номером частицы$\hat Q_i=\hat n_i=\hat a_i^\dagger \hat a_i$), вы сначала выведете уравнение движения Гейзенберга

$$\frac{d}{dt}\hat Q_i=i[\hat H, \hat Q_i].$$ Это уже имеет вид уравнения непрерывности (т.е. $\dot\rho+\nabla\cdot\vec I=0$), поэтому вы можете интерпретировать RHS как конечно-разностную версию $-\nabla\cdot\vec I$.

Например, если у вас есть$H=\sum_{<ij>}J_{ij}a_i^\dagger a_j+\text{H.c.}$, ты ищешь

$$\frac{d}{dt}\hat n_i=i\sum_{j\in\{\text{nearest neigbours}\}}(J_{ij}a_i^\dagger a_j-J_{ij}^*a_j^\dagger a_i),$$ так что вы можете интерпретировать текущий с сайта $i$к $j$как $$\hat I_{ij}=i(J_{ij}a_i^\dagger a_j-J_{ij}^*a_j^\dagger a_i).$$

Полностью пересмотрено

Первоначально я понял ваш вопрос как вопрос о континуальном пределе модели Хаббарда. Судя по вашему другому вопросу, я теперь понимаю, что вы хотели спросить о текущих операторах в модели решетки . Например, с точки зрения одной модели решетки (не думая о каком-либо реальном пространстве, из которого она могла быть получена), как мы можем говорить о сохраняющемся токе?

Обратите внимание, что, поскольку мы находимся на решетке, нормального понятия производной больше нет, поэтому уравнение неразрывности$\nabla\cdot j = \partial_t\rho$больше не имеет никакого смысла. Кроме того, рецепт минимальной связи Пайерлса неоднозначен, поскольку он зависит от пути, по которому мы идем от одного сайта к другому через реальное непрерывное пространство. Прежде чем идти дальше, позвольте мне сказать, что почти всегда достаточно определить сохраняющийся ток с помощью приближенной формулы, например

$$j(q) \approx e\int_{BZ} \!\!\!dk v(k)\psi^\dagger(k)\psi(k+q),$$ тем более, что решеточная модель сама по себе обычно является приближением, и нас почти всегда интересует очень небольшая часть зоны Бриллюэна.

Но допустим, нам нужен сохраняющийся ток на решетке. Мы хотели бы интерпретировать уравнение неразрывности как конечную разность, что-то вроде$j(x+a) - j(x) = \partial_t \rho$. Я считаю, что правильный способ говорить об этом — представить, что ваш нынешний оператор живет на краю вашей решетки. Предположим для определенности, что у нас есть (гипер)кубическая решетка. Ваши вершины помечены вектором целых чисел$\vec{n}$, ребра которого соединяют ближайших соседей. Ориентируйте края так, чтобы они указывали в направлении увеличения координаты. Теперь связан с каждым ребром$e$определить оператор$j$. Тогда наше уравнение неразрывности

$$\sum_{e\in in(n)}\!\!j(e) - \!\!\sum_{e\in out(n)}\!\!\!j(e) = \partial_t Q(\vec{n})$$

(это просто закон Кирхгофа). Теперь нам нужно локальное определение$j$в терминах полей, которые мы должны получить из-за чего-то вроде теоремы Нётер. Для скачка ближайшего соседа, как в модели Хаббарда, мы получаем

$$j(e) = i\left[\bar{c}_{n_2}c_{n_1} - \bar{c}_{n_1} c_{n_2}\right]$$ где $\bar{c}$и $c$- операторы рождения и уничтожения электрона соответственно, и $n_1$и $n_2$две вершины, соединенные $e$. Вы можете вычислить вручную, что это удовлетворяет уравнению непрерывности.

Обратите внимание, что в общем случае мы не можем просто определить$j$быть вектором, который живет в вершинах (например, путем усреднения по краям, как показано ниже). Это работает в квадратной решетке, но не работает, например, в треугольной решетке на плоскости. Вы можете видеть это, поскольку есть шесть ближайших соседей, но только два измерения, поэтому у вектора недостаточно степеней свободы, чтобы удовлетворить уравнению непрерывности. Также хорошо иметь ток на ребрах, потому что это способ превратить геометрические объекты в континууме в геометрические объекты на решетке: скаляры, такие как электрический потенциал, живут в вершинах, 1-формы, такие как ток или E-поле, живут. на ребрах 2-формы типа магнитного поля живут на плакетках и т.д... Это определение также позволяет подключиться к рецепту минимальной подстановки, так как калибровочные поля живут на ребрах.

Чтобы взять континуальный предел этой формулировки, вы просто определяете вектор

$$\tilde{j}(x_n) = \sum_{e\in in(n)}\hat{e}j(e) - \sum_{e\in out(n)}\hat{e}j(e)$$ , где $x_n$реальное космическое положение $\vec{n}$сайт и $\hat{e}$- вектор реального пространства, соответствующий ребру решетки. Если вы посмотрите на это в пространстве Фурье, вы увидите, что оно восстанавливает обычное уравнение непрерывности.

Я упомянул теорему Нётер в исходной версии этого ответа. Есть, как я себя убедил, утверждение, что любой генератор локальной симметрии на решетке имеет сохраняющийся ток, но оно неуклюже, и я не вижу причин утверждать его в общем. Позвольте мне сказать об этом конкретном случае: предположим, что ваш гамильтониан можно записать как

$$H= \sum_n\mathcal{H}_1(\psi(n),n) + \sum_{<nm>}H_2(\psi^i_n,\psi^j_m;n,m)$$ , где $\psi^i_n$поля, которые живут на $n$вершина, а сумма $<mn>$берется по всем парам $<m,n>$ближайшие соседи. Итак, у вас есть гамильтониан, член которого включает не более чем ближайших соседей (например, без ближайших к ближайшим соседям). Теперь, если у вас есть генератор локальной симметрии $Q(n)$, действующий на поля $\psi(n)$и $[\sum_n Q(n), H]= 0$, то существует сохраняющийся ток

$$j_Q(e) = \frac{i}{2}\left[Q(n)-Q(m),H_2(\psi^i_n,\psi^j_m,n,m)\right]$$

где$n$и$m$это две вершины$e$соединяется. Этот$j_Q$удовлетворяет уравнению неразрывности. Можно просто подключить и посчитать. Обратите внимание$Q(n)$должен быть локальным; как в$[Q(n),\psi^i_n]$зависит только от полей$\psi^j_n$и$[Q(n),\psi^i_m] = 0$когда$n\neq m$. Но это дает вам, например, спиновые и зарядовые токи для произвольного гамильтониана, как указано выше.

Вы также можете взглянуть на уравнение неразрывности: если плотность частиц сохраняется локально, то$\partial_t \rho(r) = -\nabla j(r)$, а также$\partial_t \rho(r) = -i [\rho(r),H]$. В модели Хаббарда вы обнаружите, что член взаимодействия коммутирует с оператором плотности и, следовательно, не дает вклада в ток.

Другой способ — добавить связь к векторному потенциалу (замена Пайерлса, если вы о ней слышали) и взять производную по A:$j(r) \propto \frac{\delta H}{\delta A(r)}$