Суперпартнер для тензора энергии-импульса

Я мало что знаю о суперсимметрии, но при отсутствии других ответов, может быть, вы получите бесконечно малую пользу от моих догадок.

Давайте думать в терминах невзаимодействующей теории SUSY с бозонным и фермионным полем.$S \sim \int\text d^2z\left(\partial X\bar{\partial}X - \left(\psi\bar{\partial}\psi + \bar{\psi}\partial\bar{\psi}\right)\right)$. Тогда из пространственно-временных симметрий мы имеем сохраняющийся тензор энергии-импульса$T(z) = T_{boson}(z) + T_{fermion}(z)$(нет связи, так как они не взаимодействуют) и подобие для антиголорморфной части. Тогда вполне естественно предположить, что ваш$G(z)$есть не что иное, как сохраняющийся заряд, возникающий из-за суперсимметрии (которую можно было бы вывести из теоремы Нётер). Теперь мы знаем, что у нас есть основное поле$\psi(z)$(фермион) с$h_{\psi}=\frac 12$и$j(z)=i\partial X(z)$(бозон) с$h_j=1$. Естественно предположить, что$G(z)$представляет собой комбинацию$\psi(z)$и$j(z)$, что потенциально может сделать его первичным полем с конформной размерностью$h_G = h_{\psi} + h_j = \frac 32$. $T(z)G(w)$OPE есть не что иное, как утверждение, что$G(z)$является основным полем с$h_G=\frac 32$. $G(z)G(w)$Затем ОРЕ должно быть получено с использованием ОРЕ$\psi(z)$и$j(z)$вместе с теоремой Викса, как обычно.

Для$\mathcal N = 2$случае, я понятия не имею. Если вы менее ленивы, чем я, и действительно проводите этот расчет, пожалуйста, напишите комментарий, работает он или нет.

ВНИМАНИЕ: содержание этого ответа не продумано и может быть совершенно неверным.

РЕДАКТИРОВАТЬ: относительно того, почему$G(z)$называется суперпартнером$T(z)$. Я смутно припоминаю, что суперсимметрию обычно делают в терминах суперпространств и суперполей. Я предполагаю, что можно построить супер (полевой) тензор энергии-импульса, вероятно, в форме$\sim G(z) + \theta T(z)$, и тогда они являются "суперпартнерами" в этом роде.

---

EDIT2: @Arnirbit, в своем ответе я предполагал знание некоторых основных аспектов несуперсимметричной 2d CFT. В частности, свободный бозон и фермион (должен заявить, что я новичок в КТП и, следовательно, не эксперт).

Теперь к вашим вопросам. Первичное поле — это поле, которое особенно «красиво» преобразуется при конформных преобразованиях.$(z,\bar z)\rightarrow (f(z), \bar f(\bar z))$,

$$\phi(z,\bar z) \rightarrow \left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)^h\left(\frac{\partial \bar f}{\partial \bar z}\right)^{\bar h} \phi\left(f(z),\bar f(z)\right),$$ где $\phi(z,\bar z)$является первичным полем с конформным весом $(h,\bar h)$. Существует связь между свойствами преобразования полей и ОРЕ, например, можно показать, что первичное поле веса $(h,\bar h)$имеют следующий ОРЭ с тензором энергии-импульса $$T(z)\phi(w,\bar w) = \frac h{(z-w)^2}\phi(w,\bar w) + \frac 1{z-w}\partial_w\phi(w,\bar w) + \text{regular terms},$$ и аналогично для антиголорморфной части (один из способов получить это - использовать тождества Уорда). Это равенство, конечно, должно интерпретироваться как действительное при корреляционной функции, упорядоченной по времени. Еще одно свойство первичных полей состоит в том, что их двухточечная функция по симметрии фиксируется как $$\left<\phi(z,\bar z)\phi(w,\bar w)\right> = \frac C{(z-w)^{2h}(\bar z-\bar w)^{2\bar h}}.$$

Теперь давайте сосредоточимся на свободной бозонной теории.

$$S[X] = T\int\text d^2z\;\partial X(z,\bar z)\bar{\partial}X(z,\bar z).$$ Уравнения движения $\partial\bar{\partial}X(z,\bar z) = 0$, означающий, что $j(z)\equiv i\partial X(z,\bar z)$голоморфна (зависит только от $z$, нет $\bar z$) и аналогично для $\bar j(\bar z)\equiv i\bar{\partial}X(z,\bar z)$. Можно вычислить двухточечную функцию $\left<X(z,\bar z)X(w, \bar w)\right> \propto \log\left|z-w\right|^2$. Это не имеет вышеуказанной формы, и поэтому $X(z,\bar z)$не является основным полем! Однако $$\left<j(z)j(w)\right> = -\left<\partial_zX(z,\bar z)\partial_wX(w,\bar w)\right>\propto -\partial_z\partial_w\log\left|z-w\right|^2 = \frac 1{(z-w)^2}.$$ Это говорит о том, что $j(z)$является (хиральным) первичным полем с конформной размерностью $(1,0)$, с ОПЕ $j(z)j(w) = \frac 1{(z-w)^2} + \dots$(если вам нравятся причудливые слова, этот OPE дает вам $\mathfrak{u}(1)$аффинная алгебра Каца-Муди). Вы можете вычислить тензор энергии-импульса, который будет иметь форму $T(z) = -\gamma :\partial X\partial X: = \gamma :jj:(z)$, для некоторой подходящей константы $\gamma$и обычный заказ $:\; :$необходимо на квантовом уровне. Используя теорему Викса, находим $$T(z)j(w) = \frac 1{(z-w)^2}j(w) + \frac 1{z-w}\partial_wj(w) + \text{regular terms},$$ что еще раз говорит о том, что $j(z)$имеет конформные размеры $(h,\bar h) = (1,0)$. Аналогичный анализ для свободного фермиона покажет вам, что $\psi$является основным полем с $(h,\bar h) = (\frac 12, 0)$и дать вам OPE $\psi(z)\psi(w) = \frac 1{z-w} + \dots$(и аналогично для $\bar{\psi}$).

Если вы еще не знакомы со всем этим, то моего быстрого наброска будет недостаточно, и я рекомендую вам обратиться к учебнику. Наконец, я думаю, что если вы скомбинируете теорию свободных бозонов и свободных фермионов суперсимметричным образом, то сможете выяснить, почему$G(z)$с конформным весом$h = \frac 32$появляется.