Тензор энергии напряжений дискретных точечных частиц

Есть два момента, которые я хотел бы подчеркнуть. 1) Простая замена суммы интегралом не работает и не оправдана. Однако следует перейти от микроскопических величин к макроскопическим, проведя усреднение по 4-м объемам, в которых межчастичные расстояния и времена можно считать малыми.

Тогда макроскопический тензор энергии-импульса будет:

$${\bf T}^{\mu\nu}=\dfrac{1}{\Delta V_4}\int_{\Delta V_4}T^{\mu\nu}d V=\dfrac{1}{\sqrt{-g} d^3x^i dx^0}\int_{\Delta V_4}T^{\mu\nu} \sqrt{-g} d^3x^i dx^0$$ Затем а) ​​в $T^{\mu\nu}$от x зависят только дельта-функции, б) метрический определитель g является макроскопической величиной, постоянен в выбранном объеме и также может быть вынесен из интеграла. Затем приходит: $${\bf T}^{\mu\nu}=\dfrac{1}{d^3x^i dx^0}\sum_a\dfrac{p_a^\mu p_a^\nu}{p_a^0}\int_{\Delta V_4} \delta^{(3)}({\bf x}-{\bf x}^{(a)}) d^3 x^i dx^0 = \dfrac{1}{d^3x^i}\sum_a\dfrac{p_a^\mu p_a^\nu}{p_a^0}.$$ В последнем выражении сумма берется по частицам, мировые линии которых проходят через $\Delta V_4$(мы игнорируем тот факт, что некоторые частицы могли выйти или войти в объем через его 3-границу, так как их гораздо меньше, чем частиц внутри объема).

Теперь выражение${\bf T}^{\mu\nu}= \dfrac{1}{d^3x^i}\sum_a\dfrac{p_a^\mu p_a^\nu}{p_a^0}$можно более комфортно лечиться.

2) Сами соображения симметрии. Рассмотрим компонент макроскопического тензора:

${\bf T}^{0 0} = \dfrac{1}{d^3x^i}\sum_a p_a^0 \equiv \rho$

${\bf T}^{i 0} = \dfrac{1}{d^3x^i}\sum_a p_a^i$. Как сумма$\sum_a p_a^i$3-векторов берется по макросферическому объему, в результате должен получиться макроскопический 3-вектор. Однако, если бы этот вектор не был равен нулю, он нарушил бы изотропию, утверждающую, что предпочтительного направления не существует. Следовательно${\bf T}^{i 0} = 0$

${\bf T}^{i j} = \dfrac{1}{d^3x^i}\sum_a\dfrac{p_a^i p_a^j}{p_a^0}$. Как и ранее, сумма должна давать симметричный макроскопический 3-тензор второго порядка. Но все симметричные 3-тензоры определяются 3 собственными векторами. Если собственные значения невырождены, то существует 3 предпочтительных направления (3 собственных вектора), если собственные значения однократно вырождены, то существует 2 предпочтительных направления и т. д. Никакие предпочтительные направления не соответствуют случаю, когда у матрицы все собственные значения равны, то есть когда матрица пропорциональна дельта Кронекера. Коэффициент пропорциональности давления:${\bf T}^{i j} \equiv P \delta^{ij}$

Выражение$\delta^{ij}$как$\eta^{ij}+U^0 U^0$($U^i$равен нулю по соображениям симметрии, и$U^0$равно единице), и$T^{00}$как$\rho U^0 U^0$, приходим к окончательному выражению для$T$.

Вот более прямой подход, изложенный в решении задачи 5.2 книги Алара П. Лайтмана «Сборник задач по теории относительности и гравитации». Я немного отредактировал презентацию книги, чтобы она была похожа на принятый ответ.

Примем величину скорости$v$фиксирована, поэтому частицы имеют одинаковую величину скорости, но все они направлены в разные стороны. Но результат можно обобщить на случай с недельта-распределением модуля скорости.

Тензор энергии-импульса точечных частиц можно записать в виде

$$T^{\mu\nu} = \sum_{n} \frac{p_n^\mu p_n^\nu}{p_n^0} \delta^3(\vec{x} - \vec{x}_n(t)).$$

Усредните это по небольшому трехтомнику; используя (сумма) = (количество)$\times$(средний),

$$T^{\mu\nu} = \frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}\sum_{n} \frac{p_n^\mu p_n^\nu}{p_n^0} \delta^3(\vec{x} - \vec{x}_n(t)) d^3\vec{x} = \frac{\Delta N}{\Delta V}\left < \frac{p_n^\mu p_n^\nu}{p_n^0} \right >,$$

где$\Delta N$количество частиц внутри$\Delta V$. Теперь обратите внимание, что$p_n^\mu = \gamma m v_n^\mu$, где$v_n^\mu = (1, \vec{v})$. У нас есть четыре случая для$\left < v_n^\mu v_n^\nu \right >$:

• $\left < v_n^0 v_n^0 \right > = 1$.
• $\left < v_n^0 v_n^i \right > = \left < v_n^i v_n^0 \right > = 0$.
• $\displaystyle \left < v_n^i v_n^j \right > = \frac{1}{3} \delta^{ij} v^2$.

Здесь в последнем равенстве мы используем, что скорости имеют изотропно распределенные направления:

$$\left <v_n^1 v_n^1 \right > = \left <v_n^2 v_n^2 \right > = \left <v_n^3 v_n^3 \right > = \frac{1}{3}\left( \left <v_n^1 v_n^1 \right > + \left <v_n^2 v_n^2 \right > + \left <v_n^3 v_n^3 \right > \right) = \frac{1}{3} v^2.$$

Наконец, поскольку средняя скорость частиц в нашей системе отсчета равна нулю,$\Delta N/\Delta V = n$. Следовательно

$$T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \gamma n m & & & \\ & \gamma n m \frac{1}{3}v^2 & & \\ & & \gamma n m \frac{1}{3}v^2 & \\ & & & \gamma n m \frac{1}{3}v^2 \end{pmatrix}.$$

Сравнивая это с формулой идеальной жидкости, получаем$\rho = \gamma n m$и$p = \gamma n m \frac{1}{3}v^2$.