Плотность лагранжиана точечной частицы искривленного пространства-времени

Я не нашел столь элегантного выражения, как твой анзац, но позволь мне попробовать. Классический лагранжиан$L\left( t,q^{i},v^{i}\right)$для частицы есть функция семи переменных: времени$t$, координаты частицы$q^{i}$и скорость$v^{i}$(Я использую латинские метки для трехмерных индексов, а компоненты с греческими индексами - для 4-метрических). Поскольку мы собираемся говорить только о массивных частицах, время можно использовать для параметризации траектории частицы, следовательно, используя действие

$$\begin{equation}\tag{1} \begin{split} S&=-m\int d\tau\\ &=-m\int\sqrt{g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}}\\ &=\int dt\,L, \end{split} \end{equation}$$ находим классический лагранжиан: $$\begin{equation} \begin{split} L\left( t,q^{i},v^{i}\right) &=-m\frac{d\tau}{dt}\\ &=-m\sqrt{g_{00}\left( t,q\right) +2g_{i0}\left( t,q\right) v^{i}+g_{ij}\left( t,q\right) v^{i}v^{j}}, \end{split} \end{equation}$$ где я явно показал аргументы метрического тензора. Легко представить $L$как формальный 3-кратный интеграл: $$\begin{equation} L\left( t,q^{i},v^{i}\right) =-m\int d^{3}x\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \sqrt{g_{00}\left( \hat{x}\right) +2g_{i0}\left( \hat{x}\right) v^{i}+g_{ij}\left( \hat{x}\right) v^{i} v^{j}}, \end{equation}$$ где $g\left( \hat{x}\right) =g\left( t,x\right)$. Поэтому действие (1) принимает вид: $$\begin{align} S & =-m\int d^{4}x\,\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \sqrt{g_{00}\left( \hat{x}\right) +2g_{i0}\left( \hat{x}\right) v^{i}+g_{ij}\left( \hat{x}\right) v^{i}v^{j}}\\ & =-m\int d^{4}x\sqrt{-g\left( \hat{x}\right) }\,\left\{ \frac{\delta^{( 3)}\left( q^{i} -x^{i}\right)}{\left[ -g\left( \hat{x}\right) \right] ^{1/2}} \sqrt{g_{00}\left( \hat{x}\right) +2g_{i0}\left( \hat {x}\right) v^{i}+g_{ij}\left( \hat{x}\right) v^{i}v^{j}}\right\} ,\nonumber \end{align}$$ где $g=\det g_{\mu\nu}$. Странную величину в фигурных скобках выше можно назвать лагранжевой плотностью.

Позвольте мне представить эту плотность более приятным способом. Во-первых, я хотел бы использовать обозначения, подобные ADM (ADM означает Arnowitt, Deser и Misner):

$$\begin{equation} \gamma_{ij}=-g_{ij}+\frac{g_{i0}g_{j0}}{g_{00}},\qquad g_{i}=-\frac{g_{i0} }{g_{00}},\qquad h^{2}=g_{00}, \end{equation}$$ таким образом, лагранжева плотность имеет вид: $$\begin{equation}\tag{2} \mathcal{L}\left( \hat{x},q^{i},v^{i}\right) =\left( \frac{h^{2}} {-g}\right) ^{1/2}\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \left[ \left( 1-g_{i}v^{i}\right) ^{2}-h^{-2}\gamma_{ij}v^{i}v^{j}\right] ^{1/2}. \end{equation}$$

Позвольте мне начать объяснение с матрицы$\hat{\gamma}$. Допустим, есть две точки$A$и$B$разделены по$dx$. Если подать световой сигнал из точки$A$В точку$B$и обратно, то можно определить пространственное расстояние$dl$между двумя точками как$cT/2$, где$c$это скорость света и$T$- временной интервал между отправкой сигнала и приемом сигнала. Легко показать, что определяемый таким образом элемент пространственного расстояния есть$dl^{2}=\gamma_{ij} dx^{i}dx^{j}$. Поэтому 3-тензор$\gamma_{ij}$учитывает пространственную геометрию. Вы можете рассматривать это как своего рода индуцированную 3-метрику. Фактически,$\gamma_{ij}$есть просто обратная матрица трехмерной \ части контравариантной метрики:

$$\begin{equation} -g^{in}\gamma_{nj}=\delta_{j}^{i}, \end{equation}$$ Также легко показать: $$\begin{equation} -g^{in}\gamma_{nj}=\delta_{j}^{i},\qquad-g=g_{00}\gamma,\qquad\Rightarrow \qquad\left( \frac{g_{00}}{-g}\right) ^{1/2}=\gamma^{-1/2}=\sqrt{-\det g^{mn}}. \end{equation}$$ Поэтому в количестве $h^{-2}\gamma_{ij}v^{i}v^{j}=\gamma_{ij} dq^{i}dq^{j}/(h\,dt)^{2}=\left( \Delta q\right) ^{2}/(h\,dt)^{2}$в лагранжевой плотности (2), $\Delta q$— реальный элемент пространственного расстояния вдоль траектории частицы.

Количество$\Delta t=h\,dt=\sqrt {g_{00}}dt$определяет собственное время для данной точки пространства, т.е.

$$\begin{equation} \left. d\tau\right\vert_{dx^{i}=0}=g_{00}\,dt, \end{equation}$$ следовательно $\sqrt{g_{00}}dt$- фактический интервал времени в сопутствующей системе отсчета частицы.

Похоже на то$\left( \Delta q\right) ^{2}/(h\,dt)^{2}$есть реальная скорость частицы, которую может измерить внешний наблюдатель, но она не совсем верна. Существует также так называемая коррекция синхронизации. Он тесно связан с процедурой синхронизации часов, находящихся в разных точках пространства. Можно показать (см., например, Ландау, Лифшиц, т. II, «Классическая теория поля»), что при синхронизации часов по проходящему световому сигналу (как рассмотрено выше) временной интервал$dt$в точку$A$должно быть исправлено$\Delta t=-g_{i}dx^{i}$в точку$B$. Например, если выбрать замкнутый контур в пространстве с$g_{i}\neq0$и попробуйте синхронизировать все часы по контуру, вы обнаружите разницу во времени, которая будет зафиксирована при возвращении в исходную точку:

$$\begin{equation} \Delta t=-\oint g_{i}dx^{i}. \end{equation}$$

Учитывая все вышеизложенное, мы можем определить величину

$$\begin{equation} V^{i}=\frac{dq^{i}}{(1-g_{i}v^{i})\sqrt{h}dt}=\frac{dq^{i}}{\sqrt{h}\left( dt-g_{i}dq^{i}\right) }, \end{equation}$$ который следует рассчитывать вдоль траектории движения частицы. Поэтому $$\begin{equation} \frac{h^{-2}\gamma_{ij}v^{i}v^{j}}{\left( 1-g_{i}v^{i}\right) ^{2}} =\gamma_{ij}V^{i}V^{j}=V^{2} \end{equation}$$ представляет собой квадрат фактической скорости частицы, измеренной правильно откалиброванными линейками, и собственного времени, определяемого часами, синхронизированными вдоль траектории частицы. Наконец, лагранжева плотность принимает вид: $$\begin{equation} \mathcal{L}\left( \hat{x},q^{i},v^{i}\right) =-m\,\sqrt{1-V^{2}}\left[ \gamma^{-1/2}\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \left( 1-g_{i}v^{i}\right) \right] , \end{equation}$$ где $\gamma^{-1/2}\,\delta^{\left( 3\right) }\left( q^{i}-x^{i}\right) \times\left( 1-g_{i}v^{i}\right)$правильно определенная трехмерная дельта-функция, снабженная временной синхронизирующей коррекцией.

Концепция скорости$V^{i}$очень полезно. Например, предположим, что существует стационарная метрика$g_{\mu\nu}\left( x^{i}\right)$(«стационарный» означает$g_{\mu\nu}$не зависит от времени), то энергия частицы, сохраняющаяся на траектории, равна:

$$\begin{equation} E=\frac{m\sqrt{g_{00}}}{\sqrt{1-V^{2}}}. \end{equation}$$

ваш лагранжиан почти верен. Но вам также нужно использовать массовый член, который сохраняется, чего не будет в случае массового члена с вашим лагранжианом.

Если вы используете:

$$\mathcal{L}_m = \sum_p m_p \gamma_p^{-1}(-g)^{-1/2}\delta^{(3)}(x^j-x^j_p(\tau_p)),$$ где $\gamma_p=dx^0/cd\tau_p$фактор Лоренца, $u^\mu_p=dx^\mu_p/cd\tau$4-скорость частицы (такая, что $u^\mu u_\mu=-1$) и $x^j_p(\tau_p)$траектории p-й частицы, то у вас есть все, что вам нужно. В самом деле, вы можете непосредственно вычислить, что оно сводится к $$S=-\sum_p m_p \int d \tau_p,$$ где $m_p$сохраняется.

Обратите внимание, что это тесно связано с так называемой сохраняющейся плотностью.$\rho^*$который часто используется в практических приложениях общей теории относительности (например, в небесной механике).$\rho^*=\sqrt{-g} \gamma_p \rho$, где$\rho$— плотность, входящая в тензор энергии-импульса. Тогда имеет место «ньютоновское» сохранение так называемой сохраняющейся плотности (т.е.$\partial_0 \rho^*+\partial_i(\rho^* v^i)=0$, с$v^i = u^i/\gamma_p$). (Вы можете вывести его из уравнения сохранения$\nabla_\sigma(\rho u^\sigma)=0$).