Тензор напряжения-энергии-импульса

я впредь предполагаю$c=1$. Рассмотрим 3-томник$\Delta \Sigma_0$в покое с пылью. Для остальных наблюдатель (это его определение)$u^\mu$имеет только (единичную) временную составляющую.
Энергия (т.е. масса), связанная с этой частью системы, равна$\Delta \Sigma_0 \rho_0$. Следовательно, 4-импульс этой части равен$\Delta p^\mu := \Delta \Sigma_0 \rho_0 u^\mu$.

Теперь рассмотрим другого наблюдателя со скоростью четыре$v^\mu$. Энергия этой части системы представляет собой временную составляющую$\Delta p^\mu$вычисляется в его/ее системе отсчета. Другими словами, это:

$$\Delta p^\mu v_\mu = \rho_0 \Delta \Sigma_0 u^\mu v_\mu$$ Однако нас интересует плотность энергии , вычисленная в этой системе отсчета. Он определяется как: $$\frac{\Delta p^\mu v_\mu}{\Delta \Sigma} = \rho_0\frac{\Delta \Sigma_0}{\Delta \Sigma} u^\mu v_\mu\:.$$ $\Delta \Sigma$- объем, измеренный в рассматриваемой системе отсчета , части пыли, определяемой формулой $\Delta \Sigma_0$ в покое с пылью. Как известно, если твердое тело имеет объем $\Delta \Sigma_0$в своей системе покоя он имеет объем $$\Delta \Sigma = \Delta \Sigma_0\sqrt{1-v^2}$$ в системе отсчета, где видно, что он имеет скорость $v$. Приведенное выше соотношение можно переписать $$\Delta \Sigma_0 = \Delta \Sigma u^\nu v_\nu$$ где $u^\nu$это $4$-скорость тела и теперь $v^\nu$в $4$- скорость другой системы отсчета. Возвращаясь к нашей пылевой системе с полем $4$-скорость $u^\nu$, мы можем заключить, что плотность энергии для общего наблюдателя с $4$-скорость $v^\nu$как правильно сказано в книге Вальда: $$\frac{\Delta p^\mu v_\mu}{\Delta \Sigma} = \rho_0 \frac{\Delta \Sigma_0}{\Delta \Sigma} u^\mu v_\mu = \rho_0 u^\nu v_\nu u^\mu v_\mu = T^{\mu\nu} v_\mu v_\nu\:.$$

Мы можем оценить это из системы покоя наблюдателя. Затем$v^\mu = (1, 0, 0, 0)$и$u_\mu = (\gamma , -\gamma\mathbf v)$где$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$и$\mathbf v$- относительная скорость. (Мы кладем$c = 1$.) Затем

$$T_{\mu\nu}v^\mu v^\nu = \rho_0 \gamma^2.$$ Однако, $\rho_0$- плотность в системе покоя жидкости. В системе покоя наблюдателя плотность $\rho = \rho_0\gamma$из-за сокращения длины! Таким образом, плотность энергии, согласно нашему наблюдателю, равна $$E = \rho\gamma = \frac{\rho}{\sqrt{1-v^2}} = \rho + \frac{\rho v^2}{2} + O(v^4).$$

Кстати, я думаю, что всем будет полезно прочитать о тензоре энергии-импульса в Misner, Thorne and Wheeler, Chapter 5.