Тензор напряжений Максвелла

Тензор напряжений Максвелла вводится как аналог тензора напряжений в механике сплошной среды, и его форма выводится из уравнения

$$\frac{d}{dt} \int_V (\boldsymbol{\mathscr{p}} + \boldsymbol{\mathscr{g}}) \,\mathrm dV = \oint_{S} d\mathbf S \cdot \mathbf T$$ куда$\boldsymbol{\mathscr{p}}$плотность импульса вещества и$\boldsymbol{\mathscr{g}}$– плотность импульса ЭМ поля. Правая часть представляет собой поверхностный интеграл по$S$, граница области$V$и это выглядит как полная поверхностная сила в механике сплошной среды. Область и, следовательно, ее поверхность произвольны, уравнение справедливо для любого выбора. Если граница находится в свободном пространстве, очевидно, что «поверхностной силы» в первоначальном смысле нет, но уравнение имеет тот же вид, как если бы она была, — как в механике сплошной среды.

В качестве альтернативы можно интерпретировать$d\mathbf S\cdot\mathbf T$в правой части не как поверхностная сила на единицу площади, а как импульс ЭМ, который входит в область$V$через$dS$в единицу времени. Это, пожалуй, и лучше, так как нам не приходится говорить о «силе натяжения», действующей в свободном пространстве (на что? — хороший вопрос). Но оба взгляда широко используются.

РЕДАКТИРОВАТЬ: если все статично, принудительно распределите заряд$\rho(\mathbf x)$(первая заряженная частица), которая содержится в области$V$является

$$\mathbf F = \int_V \rho(\mathbf x)\mathbf E(\mathbf x) d^3\mathbf x$$ Это можно преобразовать с помощью уравнений Максвелла и векторного исчисления в $$\mathbf F = \oint_S d\mathbf S \cdot \mathbf T$$ куда$S$граничная поверхность$V$. Это означает лишь то, что электростатическую силу на заряженное тело можно вычислить либо как сумму элементарных сил, действующих «местно» или «объемно» как «объемные силы», либо, наоборот, ту же силу можно вычислить из поля на расстоянии поверхности, которая окружает его. тела как суммы фиктивных поверхностных сил. Последний случай напоминает континуальную силу напряжения, но связь здесь чисто математическая - физически силы на поверхности нет, так как там нет материи.

_{Примечание: все это обычно выводится только для обычных дистрибутивов, где$\rho$ограничен. Вывод не работает для точечных зарядов, потому что для них левый интеграл не имеет смысла — это частный случай, приводящий к другой теории. Однако, кстати, правая часть остается справедливой для точечных частиц. Это связано с тем, что существует аналогичная теорема, которую можно вывести для точечных частиц с немного другим тензором электромагнитных напряжений, что несколько неожиданно дает тот же поверхностный интеграл. Это легко увидеть из того, что сила между двумя заряженными телами не зависит от того, являются ли тела точками или, скажем, равномерно заряженными сферами.}

Возвращаясь к вопросам ОП, вся эта эквивалентность между двумя способами выражения силы исчезает, когда поля перестают быть статичными; то наличие ЭМ импульса в$V$нельзя пренебрегать. Тогда сила, действующая на заряженное тело, не дается исключительно правым типом интеграла, а считается, что исходное уравнение для силы - первое уравнение ОП (интеграл локального выражения) по-прежнему верно для удлиненные тела.

Тензор напряжений имеет девять компонент в каждой точке пространства. Если вы сгруппируете их в три набора по три, вы можете представить это как три векторных поля. Сделай так. Каждое из этих векторных полей имеет дивергенцию, и это будет три скалярных поля. Вы можете объединить эти три скалярных поля вместе, чтобы получить одно векторное поле. Что, если бы это векторное поле было плотностью силы (силой на единицу объема)?

Сила на единицу объема говорит вам о скорости изменения импульса (на объем) в этом объеме. Так что это не говорит нам, что такое стресс, а только то, что это за дивергенция. Но вы можете применить теорему о дивергенции к любой хорошо ограниченной области, чтобы сказать, что поток тензора напряжений из области представляет собой полную силу, действующую на объем внутри области. Поток через поверхность равен дивергенции, интегрированной по области, поэтому они оба нечувствительны к одним и тем же вещам.

В связи со всем этим вот еще вопрос: в электростатическом поле$\mathbf{g}=0$пока$\mathbf{T}\ne 0$поэтому у нас есть поток импульса, а плотность импульса равна нулю. По моему мнению$T$следует интерпретировать как комбинацию потока импульса и напряжения, точно так же, как в механике сплошных сред аналог$T$есть (используя условное обозначение)

$$\sigma_{ik}-\rho V_iV_k$$ Второй член суммы дает поток импульса, связанный с движением материи, а первый член дает силы, действующие на данную часть материи.