Крепление датчика и степени свободы

Сегодня мой друг ( @Will ) задал очень интригующий вопрос -

Рассмотрим комплексную скалярную теорию поля с U ( 1 ) калибровочное поле ( А мю , ф , ф * ) . Идея калибровочной свободы состоит в том, что два решения, связанные калибровочным преобразованием, идентифицируются (в отличие от глобального преобразования, где решения различны, но дают одни и те же наблюдаемые), т. е.

( А мю ( Икс ) , ф ( Икс ) , ф * ( Икс ) )   ∼   ( А мю ( Икс ) + ∂ мю α ( Икс ) , е я α ( Икс ) ф , е − я α ( Икс ) ф * ( Икс ) ) .
Процесс «исправления калибровки» заключается в выборе одного из множества эквивалентных решений, связанных посредством калибровочного преобразования. Обычная процедура фиксации калибровки состоит в том, чтобы наложить условие на А мю чтобы выбрать одно из решений. Его вопрос был следующим:

Вместо того, чтобы накладывать калибровочное условие на А мю , почему мы не накладываем калибровочное условие на ф ? Не будет ли это также выбрать одно из многих эквивалентных решений? Разве это не должно дать нам те же наблюдаемые? Если да, то почему мы не делаем этого на практике?

После небольшого обсуждения мы пришли к следующему выводу:

Идея калибровочной симметрии исходит из требования, чтобы квантовая теория, включающая поля, ( А мю , ф , ф * ) имеют интерпретацию частиц в терминах безмассовых частиц со спином 1 и частиц со спином 2 0. Однако до фиксации калибровки степени свободы на оболочке включают в себя степени свободы безмассовой частицы со спином 1 и 3 полей со спином 0 ( А мю ≡ 1 ⊗ 0 ,   ф , ф * ≡ 0 ). Теперь мы хотели бы наложить калибровочное условие, чтобы избавиться от одной скалярной степени свободы. Есть два способа сделать это -

  1. Наложить калибровочное условие на А мю чтобы А мю ≡ 1 . В настоящее время, А мю соответствует безмассовой частице со спином 1, а комплексный скаляр соответствует двум частицам со спином 0. Это то, что обычно делается.

  2. Наложить калибровочное условие на ф . Например, можно потребовать, чтобы ф знак равно ф * . Теперь у нас есть реальное поле, соответствующее частице со спином 0. Однако, А мю по-прежнему содержит степени свободы как безмассовой частицы со спином 1, так и со спином 0.

Я утверждал, что вторая процедура фиксации манометра полностью ЭКВИВАЛЕНТНА первой. Однако оператор, который теперь создает безмассовую частицу со спином 1, является какой-то неприятной, возможно, не-лоренц-инвариантной комбинацией А 0 , А 1 , А 2 а также А 3 . Аналогичное утверждение верно для степени свободы спина 0 в А мю . Таким образом, операторы в гильбертовом пространстве, соответствующие интересующим частицам, не являются хорошими. Поэтому работать с такой процедурой фиксации манометра не очень приятно.

Таким образом, обе процедуры фиксации манометра работают. Первый — «красивый». Второй нет.

Верен ли этот вывод?

ПРИМЕЧАНИЕ. По заявлению А мю ≡ 1 , Я имею в виду, что А мю содержит только безмассовую степень свободы спина-1

Нет никакого смысла говорить о безмассовых или массивных частицах, созданных А . Вы должны указать действие, чтобы узнать, какие ирповы Лоренца происходят. Без действия вы можете только подсчитать количество степеней свободы.
Более того, поскольку А а также ф смешиваются из-за калибровочной симметрии, не имеет смысла думать об их частицах отдельно. Вы хотите рассмотреть калибровочно-инвариантные наблюдаемые, такие как линии Вильсона, соединяющие ф а также ф ¯ .
Я определенно вижу, что просто подсчитывать степени свободы было слишком наивно. Я должен подумать и о том, как они трансформируются при преобразовании Лоренца.

Ответы (1)

Если ф отличен от нуля, фиксируя фазу ф является вполне допустимым калибровочным условием. Он часто используется в расчетах Стандартной модели, включающих поле Хиггса, где он называется калибровкой унитарности . В каком-то смысле это хорошая калибровка, потому что она демонстрирует тот факт, что в системе существует массивное векторное поле.

Изменить: требуется некоторая осторожность с унитарным датчиком. Это полная мера, когда вы можете разумно лечить ф как отличное от нуля, потому что он использует все степени свободы в калибровочном преобразовании. Это означает, например, что его можно использовать в пертурбативных расчетах вокруг конденсата Хиггса. Но когда ф может обращаться в нуль, фазовая функция не определена однозначно, что означает, что калибровочное преобразование необратимо. Этот манометр не совсем манометр.

Я не думаю, что это то, о чем я говорю. В этом случае мы не фиксируем какой-либо датчик. Мы явно нарушаем глобальную внутреннюю симметрию. Кроме того, в этом случае степень свободы от поля Хиггса теперь становится продольной модой фотона, чтобы преобразовать его в массивный векторный бозон, тем самым изменив содержание частиц в теории. Однако «фиксация калибровки», о которой я говорю, не меняет содержания частиц в теории поля. Он просто объединяет безмассовую степень свободы со спином 1 и со спином 0 в одну. А мю .
А? Нет. Унитарная калибровка на самом деле является калибровкой. Это тот, который вы описали в 2, фиксируя фазу скалярного поля на 0. (Это использует значение степени свободы функции, гораздо больше, чем прибивание глобальной симметрии.)
ХОРОШО. Извиняюсь. Думаю, теперь я с вами согласен. Вот мое текущее понимание - датчик, фиксирующий фазу ф , естественно, дает вам степень свободы массивной частицы со спином 1 и скалярного поля. Тогда мой вопрос к вам: можем ли мы разложить массивное представление со спином 1 группы Пуанкаре на безмассовое представление со спином 1 и представление со спином 0?
Если это так, то в принципе мы должны быть в состоянии найти некоторую комбинацию А мю трансформируется как безмассовое поле со спином 1. Затем у нас есть оператор (назовем его О ), который создает калибровочный бозон. Тогда теория, где А мю манометр фиксируется с помощью А мю представление безмассовой частицы со спином 1 ЭКВИВАЛЕНТНО теории, где ф калибр фиксирован и О представляет собой безмассовую частицу со спином 1 (под эквивалентом я подразумеваю, что они дадут одни и те же наблюдаемые при указанной выше идентификации оператора). Это правильно?
Вы можете разложить лежащее в основе векторное пространство, но представления не будут разложены. Однако несоответствие исчезнет с массой.
Крепление датчика и степени свободы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v