Топологические изоляторы: почему классификация К-теории, а не гомотопическая классификация?

Очень грубо говоря, рассуждение таково. Представьте себе двухзонную систему, в которой ферми-море имеет одну заполненную зону с числом Черна.$n$и еще одна система с$N$заполненные полосы, но и с номером Черна$n$. Физически они имеют одинаковые топологические свойства (например, одинаковую холловскую проводимость, краевые состояния и т. д.), но не могут гомотопически деформироваться друг в друга, поскольку гамильтонианы имеют разный размер. Физически вы не будете рассматривать их как две разные фазы, и ваша классификация должна это знать.

В общем, рассмотрим два гамильтониана$H_1(\bf k)$а также$H_2(\bf k)$того же размера. Возможно, они не принадлежат к одному и тому же гомотопическому классу и, следовательно, не могут быть преобразованы друг в друга. Однако, добавив несколько тривиальных лент (и, таким образом, тривиально увеличив гамильтонианы), можно гомотопически деформировать их друг в друга. Физически эти тривиальные полосы всегда существуют, но мы обычно их игнорируем и рассматриваем конечномерные гамильтонианы, описывающие низкоэнергетические полосы. Но так как они находятся в одном и том же гомотопическом классе после добавления нескольких тривиальных полос (что не меняет, скажем, числа Черна), они должны физически описывать одну и ту же фазу.

Таким образом, более физическое отношение эквивалентности состоит в том, чтобы не только рассматривать гомотопические классы гамильтонианов, но и позволять добавлять тривиальные полосы. Топологический$K$-теория, по сути, является классификацией векторных расслоений не с точностью до гомотопической эквивалентности, а с точностью до стабильной эквивалентности, что по существу означает, что вам разрешено добавлять (прямая сумма) тривиальные расслоения. В этом более мягком отношении эквивалентности, например, пучки разного ранга могут находиться в одном и том же классе эквивалентности. Это физически более разумно, чем рассмотрение векторных расслоений с точностью до гомотопической эквивалентности.

Вы также можете думать об этом как о гомотопической классификации очень-очень больших матриц, чтобы избавиться от обычно существующих исключений малых размерностей. Посмотрите, например, как хаотичны гомотопические группы сфер для низких измерений: wikipedia .

В качестве простого примера возьмем двухдиапазонную систему в$3$размеров и для простоты предположим, что зона Бриллюэна является сферой$S^3$а не тор для простоты (это мало что меняет). В общем случае мы можем записать это как

$$H(\bf k) = \epsilon(\bf k) I + \bf d(\bf k)\cdot\bf{\sigma},$$ со спектром $E(\bf k) = \epsilon(\bf k)\pm |\bf d(\bf k)|$. Таким образом, мы можем непрерывно деформировать (гомотопически) это в гамильтониан

$$\tilde H(\bf k) = \hat{\bf d}(\bf k)\cdot\bf{\sigma},$$ куда $\hat{\bf d}(\bf k)$просто $\bf d(\bf k)$нормализовано. Таким образом, мы сгладили полосы в $\tilde E(\bf k) = \pm 1$, не закрывая зазор. Теперь мы видим, что пространство двухзонных гамильтонианов с лакунами топологически классифицируется гомотопическими классами отображений $\hat{\bf d}:S^3\rightarrow S^2$, и поэтому $\pi_3(S^2)$. Из знаменитой карты Хопфа известно, что $\pi_3(S^2) = \mathbb Z$, и, таким образом, существует множество различных нетривиальных фаз для гамильтонианов с двумя запрещенными зонами. Однако из общей классификации топологических изоляторов (на основе $K$-теория) известно, что нетривиальных топологических изоляторов в трехмерном пространстве для систем с сохранением заряда без симметрии не существует. Это связано с тем, что, добавив несколько тривиальных полос, можно показать, что ни одна топологическая фаза не выживает. Следовательно, $K$-теория является физически более надежной классификацией, устраняющей странное поведение систем с малыми гамильтонианами.