«Слабые» и «сильные» топологические изоляторы

Для трансляционно-инвариантных систем мы можем определить некоторый топологический инвариант, основанный на трансляционной симметрии, который называется «слабым» топологическим инвариантом. Например, согласно классификации К-теории Китаева ( https://arxiv.org/abs/0901.2686 ), трехмерные Т-инвариантные изоляторы классифицируются как К ~ р − 1 ( Т 3 ) ≅ Z ⊕ 3 Z 2 , где Т 3 импульсное пространство, образующее 3-тор. Z 2 часть является «слабым» инвариантом.

Для общих систем результат определяется выражением К ~ р − д ( С ¯ г ) . Мой вопрос: в чем смысл этого многообразия С ¯ г ? Китаев сказал, что это компактифицированное импульсное пространство (асимптотика гамильтониана фиксирована для | п | → ∞ ). Однако, если трансляционная симметрия нарушена, мы не можем даже определить «импульсное пространство» с помощью преобразования Фурье. Итак, почему мы можем утверждать, что классификация по K-теории над компактифицированным импульсным пространством С ¯ г дает «сильный» топологический инвариант, робастный при наличии беспорядка, нарушающего трансляционную симметрию?

Ответы (1)

Когда мы вычисляем редуцированную теорию КО С ¯ г , сфера, по спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха это

ЧАС ~ г ( С ¯ г , К О − д − г ( п т ) ) "=" К О − д − г ( п т ) .
Обратите внимание, что ЧАС ~ 0 ( С ¯ г , К О − д ( п т ) ) "=" 0 с С ¯ г подключен. K-теория точки классифицирует индексы вещественных операторов Дирака. Не все из них являются полностью взаимодействующими (кобордизм) инвариантами. Некоторые кобордизмы вызывают сдвиг индексов на определенную величину, а некоторые не являются индексами какого-либо оператора Дирака. Те, которые являются фазами «свободных фермионов», и их классификация составляет частное выше.

Под картой Т г → С ¯ г , который схлопывает границу зоны Бриллюэна в точку, классы K-теории откатываются назад, образуя подгруппу «сильных» инвариантов, не зависящих от трансляционной симметрии.

Вы имеете в виду, что сильная часть К ~ О − д ( п т ) классифицировать операторы Дирака в позиционном пространстве и слабую часть К ~ О − д ( С ¯ г ) необходимо наличие трансляционной симметрии? Почему мы используем С ¯ г вместо Т г ?
О, извините, меня смутил бар, и я подумал С ¯ г была зона Бриллюэна (тор). Принимая редуцированную теорию КО С г просто сводится к смещению КО-групп точки. Слабые инварианты находятся в КО-теории зоны Бриллюэна. Я отредактировал свой ответ.
«Слабые» и «сильные» топологические изоляторы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v