Максимальная высота вертикального пуска с учетом изменения силы тяжести

Скажите, что тело массой м запускается вертикально с поверхности планеты массой М . На какую максимальную высоту поднимется тело?

Моя попытка: уравнения

д 2 д т 2 д ( т ) "=" а ( т )
и
а ( т ) "=" г М м д ( т ) 2
дают дифференциальное уравнение

д ( т ) 2 д 2 д т 2 д ( т ) "=" г М м

которые, если они будут решены, могли бы позволить нам найти решения для д ′ ( т ) "=" 0 и, следовательно, максимум функции д ( т ) . Однако я не могу решить уравнение даже с помощью калькулятора дифференциальных уравнений.

Ваш ODE (довольно запутанное двойное использование д есть!) есть решение, но его нельзя сделать явным в т : wolframalpha.com/input/?i=%5By%28t%29%5D%5E2+y%27%27%28t%29%3Dc

Ответы (1)

Подсказка: в тех случаях, когда законы Ньютона можно использовать для теоретического решения некоторых задач, но они очень сложны на практике, подход можно значительно упростить, используя другой стиль подхода, используя понятие энергии.

Для стоящей перед вами задачи рассмотрите возможность моделирования объекта и планеты как единой системы. Поскольку через границу системы не происходит существенной передачи энергии, полная энергия системы (сумма кинетической и гравитационной потенциальной энергии системы) сохраняется, и систему можно смоделировать как изолированную систему для энергии.

Вы должны быть в состоянии взять его отсюда. Надеюсь это поможет.

Я всегда находил энергию сложной концепцией для борьбы. Если ускорение постоянно, легко показать, что выражение м г час + 1 2 м в 2 также постоянно, но как мы можем показать, что выражение сохраняет постоянное значение даже при изменении ускорения? Думаю, мне понадобится более изощренный аргумент, чем «потому что энергия сохраняется».
На самом деле, я даже не знаю, как интерпретировать это уравнение, поскольку г меняется в зависимости от высоты.
Собственно, это отдельный вопрос. Сохранение энергии является универсальным законом, пока нет передачи энергии в систему или из системы, энергия системы постоянна. Также м г у не является потенциальной энергией системы Земля-объект. Правильно использовать уравнение U ( р ) "=" − г м М р , и, как вы можете узнать, упростится до м г у для коротких изменений высоты (где, как вы указываете, изменение гравитационного поля в лучшем случае незначительно). Попробуйте это и дайте мне знать, если у вас возникнут проблемы.
Я понимаю. Будет ли максимальная высота г М м м в 2 / 2 − г М м / р где р радиус планеты? Я сомневаюсь, так как выражение, кажется, не зависит от м .
Спасибо кстати. Кажется, я нашел доказательство формулы Вт "=" U + К как вы описываете это в Википедии.
Это кажется правильным, но помните, что найденная вами «высота» на самом деле измеряется от центра Земли. Высоты обычно относятся к поверхности Земли, поэтому вы должны что-то вычесть (надеюсь, вы сможете понять это). Также совершенно естественно, что результат не зависит от м . Ситуация является идеализацией (обратите внимание, что мы не учитывали сопротивление воздуха в ситуации, и если бы это было принято во внимание, результат зависел бы от м ). Вот почему телам разной массы требуется одинаковое время, чтобы упасть с одной и той же высоты (в идеале).
Максимальная высота вертикального пуска с учетом изменения силы тяжести
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v