Сохранение импульса кристалла

Нет необходимости расширять экспоненту вообще. Пусть решетка имеет базис$\mathbf{a}_i$. Дело в том, что

$$[e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}, H] = 0, \quad [e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}, e^{i \mathbf{a}_j \cdot \mathbf{P}}] = 0$$ указывает на то, что мы можем одновременно диагонализовать$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}$и$H$. С$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}}$унитарна, ее собственные значения — чистые фазы, поэтому мы можем определить $$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{P}} |\psi \rangle = e^{i \phi_i} |\psi \rangle.$$ Теперь, поскольку$\mathbf{a}_i$составляют основу$\mathbb{R}^3$, существуют векторы$\mathbf{k}$так что $$e^{i \phi_i} = e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{k}}.$$ Затем мы можем позвонить$\mathbf{k}$«хрустальный импульс». Причина, по которой$\mathbf{k}$определяется только до кратных векторов обратной решетки, потому что мы не указали$\mathbf{k}$нигде в этом аргументе, только его экспоненциальный. Действительно, если мы добавим вектор обратной решетки$\mathbf{b}_j$, то фазы меняются на$e^{i \mathbf{a}_i \cdot \mathbf{b}_j} = e^{2 \pi i \delta_{ij}} = 1$по определению обратной решетки.

Для полной трансляционной симметрии можно взять$\mathbf{a}$бесконечно малым, а Тейлор расширяет экспоненту, давая$[\mathbf{a} \cdot \mathbf{P}, H] = 0$, а затем, поскольку$\mathbf{a}$произвольно у нас есть$[\mathbf{P}, H] = 0$. Но для трансляций решетки экспоненциальное расширение не очень чисто, да и не нужно.

Я думаю, что ответ на ваш вопрос заключается в том, что более уместно сказать, что Кристаллический Импульс определяется по модулю перемещений обратной решетки.

Предположим, что кристалл имеет векторы решетки Браве$\{ e_i \}$,$i=1,...,d$. Мы можем построить векторы обратной решетки$\{f_j\}$удовлетворяющий$e_i . f_j = 2 \pi\delta_{ij}$. Общий решеточный перевод задается выражением$a = \Sigma n_i$ $e_i$,$n_i$ $\epsilon$ $\mathbb{Z}$.

Эти переводы генерируются «импульсом кристалла»,$P = \Sigma P_j \hat{f_j}$.
Здесь$P_j$– составляющая импульса кристалла вдоль$j$направление на обратной решетке. Оператор перевода$T(a)$"="$T(\{n_i\})$"="$e^{iP.a}$"="$exp ( 2 \pi i\Sigma \frac{n_i P_i}{|f_i|})$"="$exp ( 2 \pi i\Sigma \frac{n_i (P_i + m_i |f_i|) }{|f_i|})$, для любого$m_i$ $\epsilon$ $\mathbb{Z}$.

Последнее равенство показывает, что такой же перенос решетки получается, если заменить$\{ P_i \}$, компоненты импульса кристалла в обратном пространстве, на$\{ P_i + m_i |f_i| \}$(Или,$P$заменен на$P$ $+$ $\Sigma$ $m_i f_i$).

Это означает, что «импульс кристалла» (т. е. генератор трансляций решетки) определяется только по модулю вектора обратной решетки. Другими словами, необходимо учитывать только собственные значения импульса кристалла, принадлежащие первой зоне Бриллюэна.

В остальном то, что вы говорите, верно. Из того, что$[T(\{ n_i \}), H]$"="$0$ $\forall$возможные решетчатые переводы$\{ n_i \}$, получаем, что импульс кристалла сохраняется.

Также см .: Необоснованное утверждение Киттеля о функциях Блоха (ближе к концу) для одномерной версии аргумента, представленного выше, и вывод теоремы Блоха.