Транспонировать карту положительно, но не полностью положительно?

Я читаю «Введение в квантовые вычисления» Кея, Лафламма и Моски. Вот вопрос, с которым я борюсь:

Упражнение 3.5.6. Докажите, что карта транспонирования, отображающая$\rho \mapsto \rho^{T}$положительна ¹ , но не полностью положительна ² .

Теперь положительность определяется в терминах внутреннего продукта, т.е.$\rho$положителен тогда и только тогда, когда$\forall v\in \mathcal{H}$,$\left<v, \rho v\right> \ge 0$, но «транспонирование» определяется с точки зрения операции над матрицами. Итак, я смог получить это в предположении, что$\rho^{T} = \rho^{*}$, но не при более слабом предположении$\rho$просто положительный. Это правда, даже если я не предполагаю$\rho^{T} = \rho^{*}$?

Что касается демонстрации того, что карта транспонирования не совсем положительна, я, честно говоря, не знаю, что делаю, и прошу любой помощи, которую вы можете мне оказать. Моя попытка приведена ниже, хотя читать ее не стоит:

Позволять$\rho\otimes \gamma$быть положительной картой, так что$\forall u\otimes v \in \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_{B}$

$$\left<u\otimes v, \rho u \otimes \gamma v\right> := \left<u, \rho u\right>\left< v, \gamma v \right> \ge 0.$$ Тогда транспонированная карта, тензорная с тождеством, принимает $\rho \otimes \gamma$к $\rho^{T}\otimes \gamma$, и мы имеем (опять же полагая $\rho^{T}=\rho^{*}$) $$\left<u\otimes v, \rho u \otimes \gamma v\right> := \left<u, \rho^{T} u\right>\left< v, \gamma v \right> = \overline{\left< u, \rho u\right>}\left<v, \gamma v \right> =\frac{\overline{\left< u, \rho u\right>}}{\left< u, \rho u\right>}\left<u, \rho u\right>\left< v, \gamma v \right>.$$ Так $\frac{\overline{\left< u, \rho u\right>}}{\left< u, \rho u\right>}$должно быть $\ge 0$. . .(в этот момент я в тупике.)

¹ «Положительный» в этом контексте означает «сопоставляет положительные операторы с положительными операторами».

² Они определяют полностью положительное следующим образом: отображение полностью положительное тогда и только тогда, когда оно положительное, и, кроме того, при тензорировании с помощью операции тождества они по-прежнему отображают положительные операторы в положительные операторы.