Циклические координаты в гамильтоновой механике

Question

Циклические координаты в гамильтоновой механике

ЗАК

Я читал о гамильтоновой механике и наткнулся на следующее:

Если обобщенная координата $q_j$ явно не входит в гамильтониан, то $p_j$ есть постоянная движения (имеется в виду постоянная, не зависящая от времени для истинного динамического движения). $q_j$ затем становится линейной функцией времени. Такая координата $q_j$ называется циклической координатой.

Приведенная выше цитата взята со стр. 4 в исх. 1.

Чего я не понимаю, так это почему $q_j$ является линейной функцией времени, если $p_j$ постоянна во времени. Другими словами, почему $p_j$ постоянные во времени подразумевают частичные $\frac{\partial H}{\partial p_j}$ является константой? (В частности, $\frac{\partial H}{\partial p_j}$ может зависеть от любых других координат или импульсов.)

Ссылка:

Патрик Ван Эш, Теория Гамильтона-Якоби в классической механике , конспект лекций. Файл в формате pdf доступен на домашней странице автора здесь .

Ответы (2)

Циклические координаты в гамильтоновой механике

Qмеханик · Answer 1

ОП прав. В тексте ошибка. Циклическая координата $q_j$ не обязательно должна быть линейной функцией $t$ .

Пример: рассмотрим две канонические пары $(q,p)$ и $(Q,P)$ с гамильтонианом $H= p Q +P$ .

Затем $q$ является циклическим, и поэтому $p$ есть постоянная движения.

$\dot{Q} =\frac{\partial H}{\partial P}=1$ , так $Q$ является линейной функцией времени.

$\dot{q}= \frac{\partial H}{\partial p} = Q$ , и поэтому $q$ является квадратичной функцией времени.

Нуаралеф · Answer 2

Это старый вопрос, и на него уже есть прекрасный ответ, я просто хотел быстро добавить более физический пример.

Возьмем двумерную частицу в центральном потенциале в полярных координатах, функция Лагранжа равна

л (р, \dot{р}, θ, \dot{θ}) "=" \frac{1}{2} ({\dot{р}}^{2} + р^{2} {\dot{θ}}^{2}) - В (р) .

$L(r,\dot r,\theta,\dot\theta) = \frac 1 2 \left( \dot r^2 + r^2 \dot\theta^2 \right) - V(r) \;.$ Теперь угол

θ

$\theta$ является циклической переменной, что дает нам закон сохранения

\frac{\partial л}{\partial \dot{θ}} "=" р^{2} \dot{θ} "=" константа \equiv с .

$\frac{\partial L}{\partial \dot\theta} = r^2 \dot\theta = \text{const} \equiv c \;.$

Однако,

θ (т) "=" θ_{0} + \int_{т_{0}}^{т} \frac{с г Икс}{р^{2} (Икс)}

$\theta(t) = \theta_0 + \int_{t_0}^t \frac{c\, \mathrm dx}{r^2(x)}$ вообще не линейна во времени.

Циклические координаты в гамильтоновой механике

ЗАК

Ответы (2)

Qмеханик

Нуаралеф

Сохранение гамильтониана против сохранения энергии

Как мы можем найти плотность фазового пространства из гамильтониана?

Постоянная движения

Разница между гамильтонианом в классической механике и в квантовой механике

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Определяют ли стационарные гамильтонианы замкнутые системы?

Независимость обобщенных координат и импульсов в гамильтоновой механике [дубликат]

Сохраняющиеся заряды/константы движения на и вне оболочки

Почему симметрии в фазовом пространстве порождаются функциями, оставляющими гамильтониан инвариантным?

Как получить гамильтониан КЭД из лагранжиана?