Нотация для генераторов групп трансляции

Генераторы являются ковариантными векторами в пространстве-времени. Следуя Оме, для представления генераторов переноса матрицами пространство-время является 4-мерным проективным пространством, где точки являются лучами.$x^{i}\in V_{5}$с$i=0,1,2,3,4$. Предположим, что координаты Алисы$x^{i}$и Боба$x'^{i}$и Алиса усиливается вдоль положительной оси x Боба с небольшим параметром усиления$\eta$. Повышение,

$$x'^{0}=x^{0}+\eta x^{1}\\ x'^{1}=x^{1}+\eta x^{0}$$ откуда следует, что буст является элементом алгебры Ли, $$K^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{0}\delta^{1}_{j}+\delta^{i}_{1}\delta^{0}_{j}$$ потому что, $$x'^{i}=x^{i}+\eta K^{i}_{\ j}x^{j} \ .$$ Переводы Оме таковы: $$[P_{k}]^{i}_{\ j}=\delta^{i}_{k}\delta^{4}_{j}$$ где $(-i)$фактор был опущен, потому что в настоящее время все является классическим. Используя матричный коммутатор для скобки Ли, $$[P_{1},K]=-P_{0}$$ Ответ $P_{1}$для повышения, $$P'_{1}=P_{1}+\eta[P_{1},K]=P_{1}-\eta P_{0} \ .$$ Теперь сравните это уравнение с откликом контравариантной пространственно-временной координаты $x^{1}$во втором уравнении вверху; когда мы думаем о $P_{1}$как вектор в пространстве-времени, он не трансформируется как контравариантный вектор. Легко видеть, что он преобразуется как ковариантный вектор в $V_{5}$. Таким образом, генераторы трансляции представляют собой ковариантные векторы в пространстве-времени. $P_{i}\in\tilde{V}_{5}$.