Почему при работе со сверхтяжелыми атомами в игру вступают «релятивистские эффекты»?

Когда квантовая механика первоначально разрабатывалась, это делалось без учета специальной теории относительности Эйнштейна. Это означало, что химические свойства элементов понимались из чисто квантово-механического описания, т. е. путем решения уравнения Шредингера .

Было обнаружено, что более точные модели того времени, в которых использовалась специальная теория относительности, лучше согласовывались с экспериментом, чем те, которые использовались без специальной теории относительности.

Поэтому, когда они цитируют «релятивистские эффекты», они имеют в виду химические свойства элементов, которые были определены с помощью специальной теории относительности.

Это потому, что электронам приходится двигаться с более высокими скоростями из-за больших орбит?

Изменения химических свойств элементов из-за релятивистских эффектов более выражены для более тяжелых элементов периодической таблицы, потому что в этих элементах электроны имеют скорости, достойные релятивистских поправок. Эти поправки показывают свойства, которые более соответствуют реальности, чем те, где дается нерелятивистская трактовка.

Очень хорошим примером этого может быть рассмотрение цвета элемента золота Au.

Физик Арнольд Зоммерфельд подсчитал, что для электрона в водородном атоме его скорость определяется выражением

$$v \approx (Zc)\alpha$$ где$Z$это атомный номер,$c$это скорость света, а $$\alpha\approx\frac{1}{137}$$ представляет собой (безразмерное) число, называемое постоянной тонкой структуры или постоянной Зоммерфельда. Для Au, поскольку$Z= 79$, электроны его внешней оболочки будут двигаться$^1$примерно в$0.58c$. Это означает, что релятивистские эффекты будут довольно заметны для золота.$^2$, и эти эффекты на самом деле влияют на цвет золота .

Интересно, что мы также отмечаем из приведенного выше уравнения, что если$Z\gt 137$затем$v\gt c$что нарушило бы один из постулатов специальной теории относительности, а именно, что ни один объект не может иметь скорость больше скорости света. Но также хорошо известно, что ни один элемент не может иметь атомный номер$Z\gt 137$(что произойдет, так это то, что при таком сильном электрическом поле, создаваемом ядром, будет достаточно энергии для образования пар$e^++e^-$который гасит поле).

$^1$Электроны не «движутся» вокруг ядра, а представляют собой вероятностные облака, окружающие ядро. Так что «наиболее вероятные расстояния электронов» были бы лучшим термином.

$^2$На примере элемента Золота, имеющего электронную конфигурацию

$$\bf \small 1s^2 \ 2s^2\ 2p^6\ 3s^2\ 3p^6\ 4s^2\ 3d^{10}\ 4p^6\ 5s^2\ 4d^{10}\ 5p^6\ 6s^1\ 4f^{14}\ 5d^{10}$$ релятивистские эффекты увеличат$\bf \small 5d$орбитальное расстояние от ядра, а также уменьшить$\bf \small 6s$орбитальное расстояние от ядра.

Так что это не совпадение, а на самом деле довольно фундаментально. С принципом неопределенности Гейзенберга:

$$\sigma_p\sigma_x\ge \frac{\hbar}2$$

если частица находится в пространстве меньшем, чем:

$$\Delta x = \frac 1 2 \left(\frac{\hbar}{mc}\right)$$

тогда неопределенности в энергии становится достаточно, чтобы создать пару частица-античастица. Это «полностью релятивистский». При половине этой энергии мы можем сказать, что «релятивистские эффекты важны». То есть когда заключение:

$$\Delta x = \frac{\hbar}{mc} = \bar{\lambda}_c$$

что является приведенной комптоновской длиной волны частицы. Это функция (обратной) массы, масштабированная фундаментальными константами.

Поскольку масса протона намного больше массы электрона, мы можем обсуждать водородоподобный атом так, как если бы уменьшенная масса была в основном$m_e$. При этом уравнение Шрёдингера является уравнением на собственные значения, связывающим кинетическую и потенциальную энергии со связью:

$$V(r) = \frac {Ze^2} {4\pi\epsilon_0}\times \frac 1 r$$

которую можно переписать через безразмерную постоянную тонкой структуры,

$$\alpha =\frac 1{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{\hbar c}\approx \frac 1{137}$$

как

$$V(r) = Z\frac{\hbar c}r = \bar{\lambda}_cmc^2\frac Z r$$

Радиальная координата масштабируется как$1/Z$, и действительно, решение для основного состояния имеет (см.: Радиус Бора,$a_0$) размер:

$$\Delta x= \frac{a_0}Z = \frac{\bar{\lambda}_c}{Z\alpha}$$

Таким образом, условие, при котором вещи становятся релятивистскими, состоит в том, что$Z\alpha$Приближается$1$, или в сверхтяжелых ядрах.

В$Z=137$, относительность предполагает «искрение вакуума». То есть электрическое поле вблизи ядра настолько сильное, что энергии достаточно для создания пары электрон-позитрон, которая погасит поле.

Это полностью релятивистски. Релятивистские эффекты становятся существенными даже при значительно меньших$Z$чем это. Согласно очень общему эмпирическому правилу, их всегда следует рассматривать, начиная примерно с половины абсолютного теоретического предела, т.е.$Z\gtrsim 70$. См. пример Au ($Z=79$) в другом ответе @josephh на этот самый вопрос , почему для объяснения цвета золота требуется релятивистская поправка.

На странице Википедии, посвященной коперникуму, есть гиперссылка, описывающая, что означает «релятивистские эффекты» в данном контексте: релятивистская квантовая химия .

Эти эффекты на самом деле вступают в игру задолго до сверхтяжелых синтетических элементов, описанных в вопросе.

Два отличительных явления, которые можно объяснить с помощью релятивистской квантовой химии, включают в себя то, почему золото имеет свой характерный желтоватый цвет (а не сероватый, как другие металлы) и почему свинец, а не олово, можно использовать для создания автомобильных аккумуляторов.

Итак, что же это за релятивистские эффекты и почему они проявляются только в сверхтяжелых ядрах?

Это не верно. Релятивистские эффекты влияют и на легкие атомы, и на каждую частицу во Вселенной, все зависит от разрешения ваших измерений. Просто эффекты более выражены в более тяжелых атомах, потому что более высокие энергии связи подразумевают более высокие «скорости».

Для атомов обычно учитываются два основных релятивистских эффекта: релятивистская поправка к кинетической энергии и спин-орбитальная связь, которые вы можете получить априори , вычислив уравнение Дирака вместо уравнения Шредингера.

Например, атом водорода имеет нескорректированную энергию основного состояния$-13.60569$эВ, а релятивистская поправка за кинетическую энергию имеет порядок$-9 \times 10^{-4}$эВ.