Зачем нужно 2nd2nd2^\text{nd} квантование уравнения Дирака

Решения уравнения Дирака первоначально интерпретировались как многомерные волновые функции или состояния. Каждый компонент похож на старую добрую нерелятивистскую квантовую механику. Эту неоператорную теорию иногда называют релятивистской квантово-механической спинорной теорией.

Да, вторичное квантование — это метод, который после всего сказанного и сделанного требует, чтобы решения интерпретировались как операторы, а не как состояния. Это потому, что мы накладываем определенные коммутационные соотношения между игроками решений, которые просто коммутировали бы, если бы они были состояниями/волновыми функциями. Эта новая теория называется КТП (для частиц с половинным спином).

Одним из недостатков неоператорной теории является то, что некоторые состояния имеют отрицательную энергию. Видимо это плохо. С другой стороны, операторнозначная КТП имеет все положительные энергии.

Источник: Если вы не возражаете платить за учебники, это особенно удобно для самостоятельного изучения.

Насколько я понимаю, исходное уравнение Дирака может описывать состояние только одного релятивистского фермиона, тогда как версия со вторым квантованием может использоваться для определения многофермионных состояний. См., например, раздел 4 документа по следующей ссылке:

http://www.cond-mat.de/events/correl13/manuscripts/koch.pdf

Тем не менее, когда физики элементарных частиц говорят о вторичном квантовании, они обычно имеют в виду квантование классического поля. В классической электродинамике электромагнитное поле определяет силы, действующие на заряженную частицу, например электрон. В обычной квантовой механике электрон квантуется — он описывается состоянием или волновой функцией — в то время как электромагнитное поле — нет — это все еще обычная функция пространства и времени. В этом контексте вторичное квантование включает передачу электромагнитного поля оператору. Для этого нужно встроить в теорию и специальную теорию относительности. Подробнее см. в книге Пескина и Шредера по квантовой теории поля.

Уравнение Дирака представляет собой релятивистское волновое уравнение$1/2$вращение. Удивительно, но это уравнение дает нам положительно определенную норму$\psi^\dagger\psi$, когда$\psi$является би-спинором:

The $\psi_\pm$это$\pm$спинор.

Мы знаем, что (Специальная теория относительности)+(Квантовая механика) делает плотность частиц и общее количество частиц несовместимыми. Если мы измеряем длину, близкую к комптоновской длине электрона, мы чувствительны к этому эффекту.

Уравнение Дирака может исследовать только$L\sim\alpha^2\lambda_c$, внесение поправок$\Delta E\sim\alpha^4mc^2$. После этого уравнение не работает. На самом деле уравнение Дирака работает с двумя спинорами, которые нельзя разделить при наличии четырехвекторного потенциала.$A_\mu$. В свободном случае мы можем разделить точным преобразованием Фолди-Ваутхейзена . При наличии потенциала это преобразование можно осуществить лишь приблизительно, но оно представляет интерес лишь до тех пор, пока$L\sim\alpha^3\lambda_c$, когда уравнение Дирака начинает ошибаться. Это преобразование помогает нам найти два уравнения, каждое для каждого спинора, усредняющее по рождению пар (среднее по$L\sim\alpha^3\lambda_c$). В случае атома водорода только одно уравнение имеет связанные состояния. Это уравнение описывает физический электрон (два положительных заряда, протон и позитрон не образуют связанного состояния).

Уравнение Дирака описывает несовместимость числа и плотности частиц, но рассматривает электромагнитное поле как классическое и пренебрегает взаимодействиями пар электрон-позитрон. Только интерференция позитрон/электрон учитывается как квантово-релятивистский эффект. Обратите внимание, что на самом деле положительно определенная$\psi^\dagger\psi=\psi_+^\dagger\psi_++\psi_-^\dagger\psi_-=\psi_{electron}^\dagger\psi_{electron}-\psi_{positron}^\dagger\psi_{positron}$

Точное решение уравнения Дирака для центрального потенциала просто. С точки зрения КТП – правильного способа построения релятивистской квантовой механики – решение уравнения Дирака дает нам хорошую основу для операторов рождения и уничтожения: рождения и уничтожения собственных состояний уравнения Дирака. Расчеты КЭД можно проводить в терминах возмущений числа петель в этом базисе.

Когда я учился на последнем курсе аспирантуры в 1963 году, я прошел семестровый курс по квантовой теории поля, множеству операторов рождения и уничтожения и множеству теорем. Я был так же озадачен, как и вы, книга была Боголюбова, и мы стали экспертами в манипулировании операторами создания и уничтожения. Потом я посетил летнюю школу в ЦЕРНе , и лекция М.Вельтмана раскрыла все, почему мы бегали с операторами созидания и уничтожения.

«Слабые взаимодействия нестранных частиц» разрешили загадку. Все дело было в расчете сечений. Ура, в безумии была физика :).

Итак, эта моя маленькая история должна проиллюстрировать, что для вычисления сечений до появления диаграмм Фейнмана и соответствующего вторичного квантования настройка интегралов для вычисления сечений и сравнения их с экспериментом была длительным процессом. (На семинаре, намного позже, в 1980 году, я услышал от самого Фейнмана, как использование им диаграмм Фейнмана позволило ему сократить время вычислений, что поразило коллег во время Манхэттенского проекта).

В физике элементарных частиц речь идет о поперечных сечениях, все успешные теоретические модели должны заканчиваться числами, дающими сечения и время жизни, вот что такое физика элементарных частиц.

Зачем нам нужно это второе квантование уравнения Дирака?

Второе квантование + диаграммы Фейнмана упростили жизнь.

Какие эксперименты нельзя описать исходным уравнением Дирака?

Решения уравнения Дирака — волновые функции — используются как основа, на которой выписываются и вычисляются интегралы, заданные диаграммами Фейнмана. Второе квантование — это метауровень, который, по моему мнению экспериментатора, упрощает вычисления.

Вот моя собственная небольшая интерпретация того, почему поле Дирака должно быть «количественно определено» (то есть быть оператором, а не обычной волновой функцией), без всяких разговоров о принципе Паули, операторах уничтожения/сотворения и всех других странных вещах КТП. Для меня достаточно понять, почему$\Psi$ниже (не$\psi$) не является амплитудой вероятности.

В релятивистской установке все фундаментальные частицы и поля в природе должны быть неприводимыми представлениями группы Лоренца . Таким образом, у нас могут быть скалярные , векторные , тензорные , а также спинорные поля.

Поскольку любое поле должно распространяться в пустом пространстве без нарушения причинно-следственной связи, поле должно подчиняться волнообразному дифференциальному уравнению (уравнению Клейна-Гордона, если поле имеет инерцию;$m \ne 0$). В случае электромагнитного поля$F^{ab}$(или векторное поле$A^a$), распространяясь в пустом пространстве, подчиняется уравнениям Максвелла, включающим волновое уравнение (с$m = 0$):

Итак, все поля в принципе являются наблюдаемыми величинами или могут иметь наблюдаемые эффекты (иначе это не физика !). Электромагнитное поле как таковое нельзя наблюдать напрямую, но оно может воздействовать на электрические заряды (что может выявить наличие электромагнитного поля). В принципе, тензор энергии-импульса$T^{ab}$электромагнитного поля также можно наблюдать/измерить (поскольку речь идет об энергии , импульсе , угловом моменте и т. д.). Так что$A^a$Поле следует рассматривать как наблюдаемую в квантовой механике, которая требует, чтобы все наблюдаемые представлялись эрмитовыми операторами.

То же самое и со спинорным полем.$\Psi$. Его нельзя непосредственно наблюдать как таковое, но он может реагировать на электромагнитное поле, а также может генерировать некоторое электромагнитное поле (если$\Psi$имеет заряд). Его энергетический импульс$T^{ab}$в принципе также наблюдаемы (энергия, импульс, угловой момент и т. д.). Так что в квантовой механике это должно быть представлено оператором.

В общем случае у вас есть физическое поле$\Phi$(индексы опущены), распространяющееся в пространстве-времени как неприводимое представление группы Лоренца и, таким образом, подчиняющееся некоторому дифференциальному уравнению в частных производных общего вида

«Вторая квантификация» на самом деле является исторической ошибкой, сделанной в эпоху, когда было много путаницы в отношении полей и частиц Природы. Так уж вышло, что мы сначала открыли электрон как частицу (т.е. взаимодействующую с измерительными приборами в лаборатории как «частицы»), а чуть позже «переоткрыли», что это действительно просто еще одно поле, распространяющееся в пространстве-времени. Электрон не точечная частица! Если немного подумать, фундаментальные точечные частицы просто не имеют никакого физического смысла.

Там нет реальных частиц. Просто математические поля (т.е. представления группы Лоренца, ограниченные принципом причинности) , распространяющиеся подобно волнам и взаимодействующие с другими полями подобно частицам .

Исходное уравнение Дирака не учитывает принцип исключения Паули ( https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_exclusion_principle ), второе квантование учитывает.

Когда мы квантуем электромагнитное поле, канонический подход предполагает выражение поля как набора квантовых осцилляторов в терминах классических полей E и B . Это дает нам картину электромагнитного поля как волновой функции в основе состояний Фока, которая описывает числа заполнения фотонов в различных доступных модах поля.

Вторичное квантование, применяемое к другим уравнениям, таким как поле Клейна-Гордона или поле Дирака, в основном рассматривает эти поля так же, как и электромагнитное поле. Это означает, что мы технически рассматриваем чистое уравнение Дирака как классическое электронное поле, где мы записываем поле как набор квантовых осцилляторов на каждой моде поля.

В отличие от случая электромагнитного поля или полей КГ, 2-е квантование поля Дирака должно быть выполнено с помощью антикоммутаторной алгебры, чтобы сохранить свойства антисимметрии принципа запрета Паули.