Уравнение Дирака в общей теории относительности

Question

Уравнение Дирака в общей теории относительности

Измерять

Уравнение Дирака для безмассовых фермионов в искривленном пространственном времени имеет вид $γ^ae^μ_aD_μΨ=0$ , где $e^μ_a$ это тетрады. Я должен показать, что спиноры Дирака подчиняются следующему уравнению:

(- Д_{мю} Д^{мю} + \frac{1}{4} р) Ψ "=" 0 (1)

$(−D_μD^μ+\frac{1}{4}R)Ψ=0\qquad(1)$

где $R$ является скаляром Риччи.

я уже знаю, что $[D_\mu,D_\nu]A^\rho={{R_{\mu\nu}}^\rho}_\sigma A^\sigma$ , но главное знать, что $[D_\mu,D_\nu]\Psi$ является.

( $D_μΨ=∂_μΨ+A^{ab}_μΣ_{ab}$ является ковариантной производной спинорного поля и $Σ_{ab}$ генераторы Лоренца с гамма-матрицами).

Любош Мотл

Правильный способ решить эту проблему — действовать с

D_{μ}

$D_\mu$ слева в вашем уравнении Дирака GR снова. Как только вы это сделаете, вы должны понять, что новая ковариантная производная также действует на тетрады, что означает, что она эффективно дифференцирует метрику и в конечном итоге дает скалярный член Риччи. Однако вы должны понимать, что прилагательное «ковариантный» означает, что оно имеет два новых термина связи, один из метрики искривленного пространства-времени и один из электромагнитного потенциала. Последнее вообще не нужно для вашего желаемого вывода - калибровочное поле просто сохраняется везде как часть

D_{μ}

$D_\mu$ .

твистор59

Связано это с physics.stackexchange.com/questions/51269/… Они действительно разные? Если нет, можно подумать о том, чтобы попросить модов объединить их.

Измерять

Спасибо за комментарий, но

D_{μ} e_{a}^{ν}

$D_\mu e^\nu_a$ не ноль?

твистор59

Разве тетрады не являются ковариантно постоянными при условии, что вы включаете как символы Кристоффеля, так и спиновую связь?

Измерять

Да, они! Можете ли вы написать явно, что вы имеете в виду для

D_{μ} e_{a}^{ν}

$D_\mu e^\nu_a$ и как это может решить проблему... Теперь я немного запутался в правильном действии

D_{μ}

$D_\mu$ на тетрады.

твистор59

Я бы сказал, что cov производная от тетрады что-то вроде

\partial_{μ} e_{ν}^{a} - Γ_{μ ν}^{σ} e_{σ}^{a} + ω_{μ}^{a b} e_{ν b}

$\partial_{\mu}e_{\nu}^a-\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}e_{\sigma}^a+\omega^{ab}_{\mu}e_{\nu b}$ были

ω_{μ}^{a b}

$\omega^{ab}_{\mu}$ является спиновой связью. (Греческое — пространство-время, а латынь — тетрадная метка, также я держу здесь все, что связано с электромагнитными датчиками). (PS я не утверждаю, что решил вашу проблему!)

Ответы (1)

Уравнение Дирака в общей теории относительности

Правильный способ решить эту проблему — действовать с $D_\mu$ слева в вашем уравнении Дирака GR снова. Как только вы это сделаете, вы должны понять, что новая ковариантная производная также действует на тетрады, что означает, что она эффективно дифференцирует метрику и в конечном итоге дает скалярный член Риччи. Однако вы должны понимать, что прилагательное «ковариантный» означает, что оно имеет два новых термина связи, один из метрики искривленного пространства-времени и один из электромагнитного потенциала. Последнее вообще не нужно для вашего желаемого вывода - калибровочное поле просто сохраняется везде как часть $D_\mu$ .
Связано это с physics.stackexchange.com/questions/51269/… Они действительно разные? Если нет, можно подумать о том, чтобы попросить модов объединить их.
Спасибо за комментарий, но $D_\mu e^\nu_a$ не ноль?
Разве тетрады не являются ковариантно постоянными при условии, что вы включаете как символы Кристоффеля, так и спиновую связь?
Да, они! Можете ли вы написать явно, что вы имеете в виду для $D_\mu e^\nu_a$ и как это может решить проблему... Теперь я немного запутался в правильном действии $D_\mu$ на тетрады.
Я бы сказал, что cov производная от тетрады что-то вроде $\partial_{\mu}e_{\nu}^a-\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}e_{\sigma}^a+\omega^{ab}_{\mu}e_{\nu b}$ были $\omega^{ab}_{\mu}$ является спиновой связью. (Греческое — пространство-время, а латынь — тетрадная метка, также я держу здесь все, что связано с электромагнитными датчиками). (PS я не утверждаю, что решил вашу проблему!)

твистор59 · Answer 1

Обозначая $\gamma^a$ гамма-матрицы пространства Минковского относительно тетрады Лоренца $\{e^a\}$ и ковариантная производная $D_a$ , то гамма ковариантно постоянна.

Начните с безмассового уравнения Дирака

γ^{б} Д_{б} Ψ "=" 0

$\gamma^{b}D_{b}\Psi = 0$

Действуйте снова с оператором Дирака

γ^{а} Д_{а} γ^{б} Д_{б} Ψ "=" 0

$\gamma^{a}D_{a}\gamma^{b}D_{b}\Psi=0$ Итак, поскольку

D

$D$ уничтожает

γ

$\gamma$

γ^{а} γ^{б} Д_{а} Д_{б} Ψ "=" 0

$\gamma^{a}\gamma^{b}D_{a}D_{b}\Psi = 0$ так

\frac{1}{2} {γ^{а}, γ^{б}} Д_{а} Д_{б} Ψ + \frac{1}{2} γ^{а} γ^{б} [Д_{а}, Д_{б}] Ψ "=" 0 (1)

$\frac{1}{2}\{\gamma^{a},\gamma^{b}\}D_{a}D_{b}\Psi + \frac{1}{2}\gamma^{a}\gamma^{b}[D_a,D_b]\Psi = 0 \ \ (1)$ Но

{γ^{а}, γ^{б}} "=" 2 η^{а б}

$\{\gamma^{a},\gamma^{b}\}=2\eta^{ab}$ и

[Д_{а}, Д_{б}] Ψ "=" р_{а б} Ψ

$[D_a,D_b]\Psi = {\mathcal{R}_{ab}}\Psi$ Где

R_{a b}

${\mathcal{R}}_{ab}$ — спиновая кривизна (антисимметричная по a и b).

R_{a b}

${\mathcal{R}}_{ab}$ удовлетворяет тождеству

- γ^{б} р_{а б} "=" р_{а б} γ^{б} "=" \frac{1}{2} γ^{б} р_{а б}

$-\gamma^b{\mathcal{R}}_{ab} = {\mathcal{R}}_{ab}\gamma^b = \frac{1}{2}\gamma^b R_{ab}$ где

R_{a b}

$R_{ab}$ — тензор Риччи (в тетраде Лоренца). поэтому (1) становится

[Д^{а} Д_{а} + \frac{1}{4} γ^{а} γ^{б} р_{а б}] Ψ "=" 0

$[D^aD_a+\frac{1}{4}\gamma^a\gamma^bR_{ab}]\Psi = 0$ то есть

[Д^{а} Д_{а} - \frac{1}{4} р] Ψ "=" 0

$[D^aD_a-\frac{1}{4}R]\Psi = 0$

Ваш ответ вдохновил на дополнительный вопрос .

Уравнение Дирака в общей теории относительности

Измерять

Любош Мотл

твистор59

Измерять

твистор59

Измерять

твистор59

Ответы (1)

твистор59

грабить

Физическое происхождение поля инфлатона?

Современная трактовка эффективной КТП в искривленном пространстве-времени

Будет ли формулировка теории квантовой гравитации при наличии ненулевой космологической постоянной зависеть от происхождения последней?

Квантование гравитационного поля: условия квантования

Как теории гравитации, основанные на гравитонах, объясняют расширение Вселенной?

Что произойдет, если применить интеграл по траекториям к действию Эйнштейна-Гильберта?

Могут ли квантовые флуктуации создать проблемы для инфляции скалярного поля?

Уравнения Фридмана с переменным G?

Разница между КТП в искривленном пространстве-времени, квазиклассической и квантовой гравитацией?

Необходимо ли квантование гравитации для квантовой теории гравитации? Часть II