Как заполнить пробелы в этой конструкции QFT?

В нескольких книгах и заметках к лекциям я встречал квантование свободного поля КГ, и, возможно, потому, что я человек, который чувствует себя некомфортно с конструкциями «размахивания руками», я все еще чувствую потребность в несколько более строгом подходе. подход, который я нигде не нашел.

Подводя итог, способ, которым это делается везде :

  1. Сначала возьмем преобразование Фурье уравнения КГ ◻ ф "=" 0 и поймем, что в пространстве Фурье мы получаем эволюцию во времени бесчисленного множества гармонических осцилляторов, то есть уравнение ∂ т ф ^ ( т , п ) + ю п 2 ф ^ ( т , п ) "=" 0 с п зафиксированный.

  2. Отсюда прямо утверждается, что квантовое поле

    ф ( Икс , т ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 ( а п е − я п мю Икс мю + а п † е я п мю Икс мю )

    главное здесь никто никогда не определял операторы а п . В этот момент кто-то утверждает, что это просто следствие того, что поле эквивалентно несчетному множеству несвязанных осцилляторов, и утверждает, что он просто использует результаты квантовой механики гармонического осциллятора, но не делается много точных построений.

  3. Отсюда следует, что коммутационные соотношения для ф , π эквивалентны коммутационным соотношениям [ а п , а д † ] "=" я дельта ( п − д ) и [ а п , а д ] "=" [ а п † , а д † ] "=" 0 работает официально. Помните, что ни ф ( Икс ) , ни а п , ни пространство, в котором они действуют, никогда не было определено.

  4. Просто утверждается, что очевидно, что пространство, в котором действуют эти операторы, является фоковским пространством (при этом ничего не говорится о том, что обычное фоковское пространство строится над счетным числом гильбертовых пространств, а здесь мы имеем несчетно много осцилляторов в классической теории). Изображение, как описано в (1)). Другая проблема, которая никогда не решается, заключается в том, что пространство Фока требует привязки симметричного или антисимметричного тензорного произведения, и неясно, какое из них и как оно было получено.

  5. Что еще хуже, никогда не определяя а п просто утверждают, что есть одно государство | 0 ⟩ такой, что а п | 0 ⟩ "=" 0 и это для каждого п исправлена ​​возможность переноса и адаптации результатов для лестничных операторов из гармонического осциллятора.

Я имею в виду, я понимаю, что строгость сложна в QFT. Я немного читал об этом. Но это уже совсем другая история: здесь вещи берутся из воздуха!

Например, у меня нет проблем с формализмом Дирака в КМ, хотя сделать его строгим очень сложно, но меня это устраивает, потому что допущения ясно изложены в большинстве книг по КМ, а выводы почти всегда сделано без ничего, выходящего из воздуха. Вывод спектра и собственных состояний SHO, например, подробно и подробно описан во многих книгах.

Теперь в этой процедуре квантования есть много пробелов, которые не объясняются. Связь между полем, гармоническими осцилляторами и фоковским пространством используется постоянно, но никогда не конкретизируется. Человек просто утверждает вещи без особых объяснений.

Что здесь происходит на самом деле? Как можно уточнить всю эту конструкцию и эти отношения? Что можно сделать, чтобы, по крайней мере, сделать допущения ясными, а вывод тоже ясным? Как мы можем построить все это более комплексно?

Попробуйте эту книгу , это КТП-аналог шедевра Дирака "Принцип квантовой механики".
Вы помните, как квантуется простой гармонический осциллятор?
Да @Prahar, однако я не вижу одной точной связи. Я хочу сказать: при квантовании SHO в QM мы предполагаем , что у нас есть одно пространство состояний Е с операторами Икс , п удовлетворяющий [ Икс , п ] "=" я ℏ вместе с представительством Икс | Икс ⟩ "=" Икс | Икс ⟩ ул. мы можем представлять кеты | ψ ⟩ по функциям ψ ( Икс ) "=" ⟨ Икс | ψ ⟩ . Предполагается, что эти структуры заданы (я считаю, что это может показаться одним неявным использованием теоремы Стоуна-фон Неймана). Затем в их терминах мы определяем а и а † факторизовать ЧАС .
Затем мы доказываем множество свойств этих операторов, что позволяет найти собственные значения и собственные состояния оператора. ЧАС . Но мы можем сделать это только потому, что мы определили а и а † в пространстве, которое предполагается заданным в терминах операторов, которые у нас уже есть. Другими словами, есть четкая отправная точка, из которой все происходит, и это Е , операторы Икс , п и представительство | Икс ⟩ . Я не вижу этой четкой структуры при квантовании свободного скалярного поля.
Если не любите махать руками, читайте книги Вайнберга ;)
@ user1620696 - Идея квантования классической теории заключается в следующем. Учитывая классическое фазовое пространство М с функциями ф ( п , д ) (все они соответствуют наблюдаемым) и симплектическая форма Ом на М , квантование - это процесс нахождения линейного представления классического фазового пространства в квантовом гильбертовом пространстве. Каждая функция отображается в линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве и Ом отображается на коммутатор. Частью процесса квантования теории является поиск представления.
@ user1620696 - Теорема Стоуна-фон Неймана гласит, что для конечномерных систем все представления унитарно эквивалентны, поэтому вам нужно найти только одно. Эта теорема не распространяется на квантовую теорию поля, поэтому действительно существуют унитарно неэквивалентные способы квантования классической теории.
@user1620696 user1620696 — В SHO мы начинаем с поиска функций создания и уничтожения. а ( п , д ) и а ( п , д ) * которые удовлетворяют { а ( п , д ) , а ( п , д ) * } "=" − я . Затем для квантования теории требуется найти гильбертово пространство, на котором а ( п , д ) и а ( п , д ) * представляются как линейные операторы а и а † которые удовлетворяют [ а , а † ] "=" 1 . Это делается путем построения гильбертова пространства как пространства Фока, с которым, несомненно, знакомы. Остальные операторы определяются взятием соответствующих функций, записанных в терминах а и а * а дальше обычный заказ.
@ user1620696 - Точно такая же процедура выполняется в QFT, за исключением того, что теперь у вас есть бесконечное количество операторов создания и уничтожения, а п . Конечно, поскольку теорема Стоуна-фон Неймана больше не применяется, это не единственный способ квантования теории, и есть другие неэквивалентные способы сделать это, например, квантование с использованием собственных состояний углового момента. Однако почти во всех экспериментах, которые мы проводим, состояния считаются собственными состояниями по импульсу, поэтому мы работаем с этим квантованием.
Аналогичный вопрос по math.SE. Вопросы, которые вы задаете, — это то, над чем фон Нейман, Вайтман и многие другие бились десятилетиями. Объяснение "немного более строгое", чем вводные учебники, обязательно махают руками.
Нет проблем, если вы с самого начала работаете с конечной теорией, как это делает 'т Хоофт.

Ответы (1)

Вы просите о точной, т.е. математически строгой, конструкции свободной скалярной КТП, и все же вы, кажется, читали только ссылки физиков, а не математических физиков, которые разобрались с этим давным-давно. Ссылка 't Hooft, предложенная в комментариях, не сильно поможет вам в этом отношении. Вы можете найти точную трактовку канонического квантования свободного скалярного бозонного поля, например:

  1. Том 2 книги Рида и Саймона «Методы современной математической физики», см., в частности, раздел X.7 (издание 1975 г.).
  2. Книга «Квантовая физика, функциональная интегральная точка зрения» Глимма и Джаффе, см., в частности, главу 6 (издание 1987 г.).
  3. «Квантовая механика и квантовая теория поля, математический учебник для начинающих» Даймока, см., в частности, раздел 5.4 и главу 8 (2011 г.).
Как заполнить пробелы в этой конструкции QFT?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v