Корреляционные функции конечных температур в КТП

Предположим, что мы хотим вычислить эту воображаемую упорядоченную по времени корреляционную функцию для взаимодействующей системы (на картинке Гейзенберга):

⟨ Т А ( т А ) Б ( т Б ) ⟩ "=" 1 Z Т р { Т ( е − β ЧАС е ЧАС т А А ( 0 ) е а − ЧАС т А е ЧАС т Б Б ( 0 ) е − ЧАС т Б ) }

При условии, что т А > т Б мы можем отказаться от оператора упорядочения по времени Т и используя определение оператора эволюции мнимого времени в изображении взаимодействия:

⟨ Т А ( т А ) Б ( т Б ) ⟩ "=" 1 Z Т р { е − β ЧАС 0 С ( β , т А ) А я ( т А ) С ( т А , т Б ) Б я ( т Б ) С ( т Б , 0 ) }

В «Методах квантовой теории поля» AGD сказано, что теперь мы можем записать приведенное выше соотношение как:

⟨ Т А ( т А ) Б ( т Б ) ⟩ "=" 1 Z Т р { е − β ЧАС 0 Т ( А я ( т А ) Б я ( т Б ) С ( β , 0 ) ) }

Но это верно только тогда, когда β > т А , т Б . В самом деле, если мы рассматриваем корреляционную функцию некоторых операторов, каждого в произвольный момент времени, то конечно-температурная версия теоремы Гелл-Манна–Лоу справедлива только в том случае, если разница во времени между операторами меньше, чем характерное тепловое время - масштаб системы.

  • Мой вопрос в том, как мы можем решить эту проблему и найти пертурбативно корреляционную функцию?

Или, может быть, это не проблема, и естественно, что мы не можем найти никакой корреляции между двумя (или более) величинами в системе, находящейся в тепловом равновесии, когда их временное разделение настолько велико, что тепловые флуктуации убивают любую корреляцию между ними.

И даже если последнее утверждение верно, оно не говорит, что мы не можем найти корреляцию, оно просто говорит, что мы должны использовать другой метод, например точное решение гамильтониана. Теперь предположим, что мы могли бы сделать это.

  • Какое физическое поведение мы ожидаем от него (возможно, какое-то экспоненциальное уменьшение по мере увеличения разницы во времени с экспоненциальным фактором е − | т А − т Б | β ? Или, может быть, я полностью заблуждаюсь, потому что мнимое время не имеет ничего общего с реальным временем.

Ответы (2)

Хотя уже есть принятый ответ, я представлю здесь другую точку зрения.

Важно иметь в виду, что мнимое время является периодическим, а это означает, что поля удовлетворяют периодическим (или антипериодическим) граничным условиям (причина в том, что мы используем интеграл по пути мнимого времени для представления статистической суммы, которая равна Т р е − β ЧАС ). Следовательно, корреляционные функции также подчиняются таким же периодическим условиям при сдвиге т → т + β , поэтому частоты Мацубары равны 2 π н β для н е Z для бозонных полей и ( 2 н + 1 ) π β для фермионных полей. Так что если | т А − т Б | больше, чем β , все, что вам нужно сделать, это свернуть его, добавив или вычитая несколько β , как и для любых периодических функций.

РЕДАКТИРОВАТЬ: периодичность функции Грина может быть получена явно, без использования представления интеграла по путям. В конце концов, представление интеграла по путям спроектировано так, чтобы соответствовать операторному формализму.

Предположим А и Б являются бозонными, поэтому мне не нужно следить за фермионным знаком. Для конкретности рассмотрим − β < т < 0 и

г ( т ) "=" ⟨ Т А ( т ) Б ( 0 ) ⟩ "=" Т р [ е − β ЧАС Б ( 0 ) е т ЧАС А ( 0 ) е − т ЧАС ] "=" Т р [ е т ЧАС А ( 0 ) е − т ЧАС е − β ЧАС Б ( 0 ) ] "=" Т р [ е − β ЧАС е ( т + β ) ЧАС А ( 0 ) е − ( т + β ) ЧАС Б ( 0 ) ] "=" ⟨ Т А ( т + β ) Б ( 0 ) ⟩ "=" г ( т + β )

Здесь мы используем свойство цикличности трассы.

Это должно быть объединено с ответом higgsss.
Действительно, в представлении интеграла по путям переменные поля являются периодическими или антипериодическими по мнимому времени, и, следовательно, корреляционные функции имеют одинаковую периодичность или антипериодичность. Но я думаю, следует подчеркнуть, что само определяющее выражение ОП плохо определено для | т А − т Б | > β .
@higgsss Я не согласен. Фактически можно явно показать, что определение функции Грина в операторной форме удовлетворяет условию периодичности/антипериодичности. Впервые это заметил Мацубара, определенно не используя представление интеграла по путям. Я обновлю свой ответ, включив в него явный вывод этого факта.
Правильное утверждение о периодичности/антипериодичности состоит в том, что если т ≡ т А − т Б > 0 , С ( т − β ) "=" ± С ( т ) . В своем ответе я дал обоснование того, почему корреляционная функция плохо определена, если | т | > β . Если вы не согласны с этим, пожалуйста, укажите, почему это обоснование не работает.
В приведенном выше комментарии диапазон т действительно должно быть 0 < т < β .
Фактически, даже если энергетический спектр ограничен сверху, так что определяющее уравнение ОП хорошо определено для | т | > β , это вообще не верно С ( т − β ) "=" ± С ( т ) . Это отношение периодичности/антипериодичности справедливо только для 0 < т < β .
Спасибо, Мэн Ченг. Я мало знаю о формализме интеграла по путям и не знаю, как мы можем показать периодичность операторов мнимого поля из подхода канонического квантования. Ваш аргумент верен (как упоминается в AGD), но я думаю, что мы ничего не можем сказать о периодичности для случая более чем двух операторов корреляционных функций (и я не знаю, имеют ли такие корреляционные функции какое-либо приложение или нет). )
@higgsss Я согласен с тобой. Я не думаю, что аргумент, использующий неограниченность спектра, полностью оправдан, но действительно, если мы просто пойдем и посчитаем С ( т ) для т > β , она не периодична по β . Математически имеет смысл определить значение С ( т ) как периодическое продолжение [ 0 , β ) интервал, но это может и не понадобиться, поскольку для большинства практических расчетов все равно приходится обращаться к частотному пространству.
Я думаю, в конце концов, нам никогда не понадобится С ( т ) для | т | > β , хотя у меня нет для этого полного обоснования.

Вопрос ОП касается долговременного поведения корреляционных функций мнимого времени в целом. Но на самом деле корреляционная функция плохо определена, если разница во времени | т А − т Б | больше, чем обратная температура β .

Чтобы убедиться в этом, предположим, что гамильтониан ЧАС имеет собственные состояния { | н ⟩ } и связанные с ними собственные значения { Е н } , и предположим т А > т Б . Затем,

Т р { Т [ е − β ЧАС е т А ЧАС А ( 0 ) е − т А ЧАС е т Б ЧАС Б ( 0 ) е − т Б ЧАС ] } "=" ∑ н , н ′ ⟨ н | е − β ЧАС е т А ЧАС А ( 0 ) | н ′ ⟩ ⟨ н ′ | е − т А ЧАС е т Б ЧАС Б ( 0 ) е − т Б ЧАС | н ⟩ "=" ∑ н , н ′ е − ( β − т А + т Б ) Е н е − ( т А − т Б ) Е н ′ ⟨ н | А ( 0 ) | н ′ ⟩ ⟨ н ′ | Б ( 0 ) | н ⟩ .

Собственные значения энергии { Е н } физической системы ограничены снизу и неограничены сверху. Следовательно, для обоих е − ( β − т А + т Б ) Е н и е − ( т А − т Б ) Е н ′ вести себя хорошо для всех н и н ′ , мы должны иметь 0 ≤ т А − т Б ≤ β . Точно так же, если т А < т Б , у нас есть 0 ≤ т Б − т А ≤ β .

Объединение двух случаев т А > т Б и т А < т Б , следует, что корреляционная функция мнимого времени корректно определена, только если

| т А − т Б | < β .

Корреляционные функции конечных температур в КТП
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v