Вычисление функции Грина из ряда Дайсона без нормального порядка

Нормальный заказ

Хитрость заключается в том, чтобы понять, что нормальная упорядоченная строка полей — это просто многочлен Эрмита (см.$[1]$):

$$\colon \phi^n\colon=H_n(\phi)\tag{1}$$ так что, например, $$\colon \phi^2\colon=\phi^2-c\tag{2}$$ где $$c\equiv [\phi^+,\phi^-]=\delta(\boldsymbol 0)\tag{3}$$ является (формально расходящейся) константой.

В случае свободных теорий гамильтониан квадратичен по$\phi$, и поэтому

$$\colon\mathcal H_\mathrm{free}\colon=\mathcal H_\mathrm{free}-c\tag{4}$$ что подразумевает, что $c$это просто нулевая энергия. В более общей теории имеем $$\colon\mathcal H\colon=\mathcal H+P(\phi),\tag{5}$$ где $P(\phi)$просто многочлен от $\phi$. Следовательно, нормально упорядоченная и ненормально упорядоченная теории качественно идентичны.

Например, в случае$\phi^3$теория,

$$\colon\phi^3\colon=\phi^3-3c\phi\tag{6}$$ что означает, что взаимодействия $\colon\phi^3\colon$и $\phi^3$порождают те же теории по модулю головастиков .

Точно так же в$\phi^4$теория,

$$\colon\phi^4\colon=\phi^4-6c\phi^2+3c^2 \tag{7}$$ что подразумевает, что $\colon\phi^4\colon$и $\phi^4$порождают те же теории по модулю перенормировки массы (известной как слаги ) и несущественной энергии нулевой точки (которая влияет только на вакуумные пузыри).

Взаимодействия более высокого порядка не рассматриваются из-за перенормируемости, но обсуждение аналогично. Короче говоря, нормальное упорядочение лагранжиана оставляет неизменным член более высокого порядка и изменяет коэффициент остальных членов. Это означает, что нормально упорядоченные и ненормально упорядоченные теории отличаются только значением контртермов .

В случае калибровочных теорий проблема несколько более тонкая, потому что нормальное упорядочение может повлиять на тождество Уорда. Случай КЭД особенно прост, поскольку здесь (см.$[2]$)

$$\colon A\cdot j\colon=A\cdot j-c' \tag{8}$$ где $c'$является (формально расходящейся) константой. Следовательно, нормальный порядок в КЭД не делает сохранение тока аномальным. С другой стороны, в скалярной КЭД наивное нормальное упорядочение нарушает тождество Уорда (см . этот пост ).

Ключевым моментом нормального упорядочения является следующее: как в$(5)$, нормальный упорядоченный и ненормально упорядоченный гамильтонианы отличаются только полиномом от$\phi$, меньшей степени, чем более высокий член взаимодействия. Другими словами, две теории эквивалентны, и единственная разница заключается в действительном значении контртерминов. Тем не менее, нормальное упорядочение гамильтониана устраняет все диаграммы, в которых пропагатор замыкается сам на себя (так называемые самосжатия ), т. е. устраняет все диаграммы головастиков . Таким образом, использование нормально упорядоченных взаимодействий приводит к меньшему количеству диаграмм, поэтому пертурбативный расчет упрощается, сохраняя при этом физику неизменной. На измеримые количества не влияет предписание заказа.

В любом случае весь формализм нормального упорядочения до конца не понят. Стандартное определение дано только для свободных полей, и далеко не очевидно, что определение может быть последовательно применено и к взаимодействующим полям. Видеть$[3]$Больше подробностей.

Перенормировка

Итак, как все это связано с перенормировкой?

Перенормировка — это определяемый пользователем процесс: вы выбираете, как это сделать. Приводите ли вы свой лагранжиан к нормальному порядку или нет, это не зависит от того, как вы решите перенормировать свою теорию. Вы можете использовать схему on-shell или использовать какой-либо другой рецепт для расчета встречных условий; шкала, в которой вы перенормируете, в принципе произвольна; вы можете перенормировать вершинные функции самого низкого порядка или некоторую более высокую корреляционную функцию; и т. д. Любой из этих вариантов не заботится о том, является ли лагранжиан нормально упорядоченным или нет.

Как обсуждалось ранее, единственный эффект нормального упорядочения теории заключается в том, что диаграммы головастиков отсутствуют, и это влияет на фактическое значение контрчленов. Но на «алгоритм» перенормировки не влияет предписание упорядочивания (хотя тот факт, что количество диаграмм меньше, может упростить фактический процесс перенормировки).

Рассмотрим, например$\phi^4$теория, определяемая лагранжианом

$$\mathcal L=A(\partial\phi)^2+B\phi^2+C\phi^4+D \tag{8}$$ для некоторых $A,B,C,D\in\mathbb R$.

Если вы сейчас используете$(7)$, мы можем переписать лагранжиан выше как

$$\mathcal L=A(\partial\phi)^2+B'\phi^2+C:\phi^4:+D' \tag{9}$$ где $B'=B-6c$и $D'=D+3c^2$.

Теперь идет перенормировка. Чтобы рассчитать$A,B,C,D$нам нужно выбрать какой-то рецепт; например,$D$(или$D'$) обычно фиксируется требованием нулевой энергии вакуума. Эта энергия определяется суммой всех вакуумных пузырей.

В теории ненормального порядка вакуумные пузыри задаются выражением

где "$\text{counter-terms}$- диаграммы с контртермами,

со значением$-iD$и$-i(A-1)p^2-i(B-1)$соответственно.

Если мы сейчас настаиваем на том, что$E_0\equiv 0$к этому порядку по теории возмущений мы получаем некоторое (расходящееся) значение коэффициентов$A,B,D$.

С другой стороны, в нормально упорядоченной теории вакуумные диаграммы имеют вид

где "$\text{counter-term}$" задается теми же диаграммами, что и раньше, но со значением$-iD'$и$-i(A-1)p^2-i(B'-1)$соответственно. Если мы сейчас настаиваем на том, что$E_0\equiv 0$к этому порядку по теории возмущений мы получаем некоторое (расходящееся) значение коэффициентов$A,B',D'$, отличается от того, что было раньше.

Измеряемый объект,$E_0$, имеет одинаковое значение в обоих подходах, а коэффициенты — нет. Например,$D'$обращается в нуль в первом порядке по теории возмущений, но$D$не. Нормальный порядок уменьшил количество диаграмм и вызвал$D'\neq D$, но это оставило физику неизменной.

То же самое происходит с корреляционными функциями более высокого порядка. Например, в ненормально упорядоченной теории собственная энергия$\phi$обращается в нуль в первом порядке по теории возмущений; если рассматривать нормальный упорядоченный лагранжиан, то$A=B'=0$этому порядку, пока$B\neq 0$. Отличие вызвано слаг-диаграммой (подробности оставляем читателю; в нормально упорядоченной теории первый нетривиальный вклад в$\Pi(p^2)$дается диаграммой заката).

Короче говоря , мы можем сказать следующее: диаграммы, которые вносят вклад в данный порядок в теории возмущений, зависят от того, выбираем ли мы нормальный порядок лагранжиана, и это влияет на фактическое значение контрчленов. Но наблюдаемые не зависят ни от какого порядка.

Дополнительная литература: Головастики, головоногие моллюски и «Полное нормальное упорядочение» Д. П. Склироса.

Использованная литература:

• $[1]$: см. http://www.ifi.unicamp.br/~mtamash/f689_mecquant_i/ajp76_65.pdf

• $[2]$: Бьоркен и Дрелл, Релятивистские квантовые поля, раздел 15.5.

• $[3]$: Робин Тиччиати, Квантовая теория поля для математиков. Найдите «нормальный порядок» в указателе в конце книги.